辽宁实验中学分校2015—2016学年度上学期阶段性测试

高三年级数学（文）试卷

命题人： 田传利

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．)

1．已知命题
，
，则（ ）

A．
，
B．
，

C．
，
D．
，

2．设集合
，集合
，则
等于（ ）

A.（1，2） B. （1，2] C. [1，2） D. [1，2]

3．已知函数
在区间[－2，＋∞）上是增函数，则f（1）的范围是（ ）

A．f（1）≥25 B．f（1）＝25 C．f（1）≤25 D．f（1）>25

4．计算
的值等于（ ）

A．
B．
C．
D．

5．在△ABC中，AB=4，AC =6，
，则 BC= （ ）

A．4 B．
C．
D．16

6．已知向量
，向量
，且
，则实数
等于（ ）

A.
B.
C.
D.

7．设数列
的前
项和为
,且
,则
（ ）．

A．
B．
C．
D．

8．若设变量
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为（ ）．

A．10 B．11 C．12 D．13

9．为了得到函数
的图象，可将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

10．已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中正视图为等腰直角三角形，侧视图与俯视图均为正方形，那么该几何体的表面积是（ ）

A．16 B．
C．20 D．

11．抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（　　）

A．
B．
C． 4 D． ﹣4

12．已知函数
，则方程
恰有两个不同的实根时，实数
的取值范围是（注：
为自然对数的底数）（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为
则双曲线C的方程 ．

14．圆心在直线
上的圆C与
轴交于两点
，
，圆C的方程为 ．

15．给出下列四个命题：

①当
时，有
；

②
中，
当且仅当
；

③已知
是等差数列
的前
项和，若
，则
；

④函数
与函数
的图像关于直线
对称．

其中正确命题的序号为 ．

已知
，
，
，则有
，当且仅当
时等号成立，用此结论，可求函数
最小值为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。请将解答过程写在答题纸的相应位置。）

17．（本小题满分10分）

设

求
的最大值； （2）求
最小值．

18. (本小题满分12分)

已知函数

（1）当
时，求函数
的最小值和最大值；

（2）设
的内角
的对应边分别为
，且
，若向量
与向量
共线，求
的值．

19．（本小题满分12分）

已知等比数列
的前
项和为
，且
．

（1）求
的值及数列
的通项公式
；

（2）求数列
的前
项和
．

20. (本小题满分12分)

已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=
BC=
，E是BC的中点，将△BAE沿着AE翻折成△B1AE，使面B1AE⊥面AECD，F，G分别为B1D，AE的中点．

（Ⅰ）求三棱锥E﹣ACB1的体积；

（Ⅱ）证明：B1E∥平面ACF；

（Ⅲ）证明：平面B1GD⊥平面B1DC．

21.(本小题满分12分)

已知椭圆
（
）的离心率
，过点
（0，
）和
（
，0）的直线与原点的距离为
．

（1）求椭圆的方程．

（2）已知定点E（-1，0），若直线y＝kx＋2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点?请说明理由．

22. (本小题满分12分)

已知函数

（Ⅰ）设曲线
在
处的切线与直线
平行，求此切线方程；

（Ⅱ）当
时，令函数
，
，求函数
在定义域内的极值点；

（Ⅲ）令
，都有
成立，求
的取值范围．

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数学（文）学科 参考答案

CBAAA DCDCB BB

1．C【解析】

试题分析：全称命题的否定是特称命题，将任意改为存在，并将结论加以否定，因此命题的否定为
，

考点：全称命题与特称命题

2．B【解析】

试题分析：集合
=
，集合
=
，∴
=（1，2]，故选B．

考点：集合的交集运算.

3．A【解析】

试题分析：函数为开口向上二次函数，对称轴为
，满足在[－2，＋∞）上是增函数

考点：二次函数单调性

4．A【解析】

试题分析：根据诱导公式得：
，
，所以原式=

。

考点：1．诱导公式；2．两角差正弦公式。

5．A【解析】

试题分析：如图所示：由
，得
．设
，所以
…(，在直角三角形CBD中，得
．在直角三角形ACD中，由勾股定理得，
…(，((联立得
．故选A．

考点：解三角形．

6．D【解析】

试题分析：由已知得，
，所以（1，2）（1-x，4）=0，即1-x+8=0，所以x=9．故选D．考点：向量垂直及数量积的坐标运算．

7．C【解析】

试题分析：
时
，当
时
，所以数列
为等比数列，共比为2，首项为2，所以通项公式为
，故选C

考点：数列求通项公式

8．D【解析】

试题分析：线性约束条件对应的可行域为直线
围成的三角形及其内部，顶点为
，目标函数
过点
时
取得最大值13，故选D

考点：线性规划问题

9．C【解析】

试题分析：因为
，

，所以为了得到函数
的图像可将函数
的图像向左平移
个单位长度．故C正确．

考点：三角函数图像伸缩平移变换

10．B【解析】

试题分析：由三视图知，该几何体是底面是腰长为2等腰直角三角形高为2的直棱柱，所以
，故选B．

考点：由三视图求空间几何体的表面积．

11．B

【解析】 解：由y=ax2，变形得：x2=
y=2×
y，

∴p=
，又抛物线的准线方程是y=1，

∴﹣
=1，解得a=﹣
．

故选B

12．B【解析】

试题分析：作出函数
和
的图象，将方程问题转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

作出函数
的图象如图：

当y=ax对应的直线和直线
平行时，满足两个函数图象有两个不同的交点，

直线y=ax和函数f（x）相切时，

当x＞1时，函数
，设切点为（m，n），

则切线斜率
，则对应的切线方程为
，

即

又∵直线切线方程为y=ax，

∴
，解得
，

即此时
，此时直线y=ax与f（x）只有一个交点，不满足条件，

若方程f（x）=ax恰有两个不同的实根时，则满足
；

故选B．

考点：1、分段函数的应用；2、根的存在性及根的个数判断．

【方法点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用分段函数作出函数的图象，再利用数形结合是解决本题；求函数某过点的切线方程的方法：先设出切点，利用导数表示出切线的斜率，进而写出切线的方程，最后由过的点的坐标求出切点坐标，从而求出切线方程．

13．

【解析】

设双曲线方程为

由已知得
故双曲线C的方程为

14．

【解析】

试题分析：设圆的方程为
，所以有

，圆的方程为

考点：圆的方程

15．②③④

【解析】

试题分析：①中当
时
，命题成立；②中由
可得
；③中等差数列
若
，则
，则
，即
；④中结合函数
与函数
关于y轴对称和图像平移可得到
与
的图像关于直线
对称．

考点：1．函数对称性；2．均值不等式求最值；3．数列求和

16．

【解析】

试题分析：由题意可得
,当且仅当
，即
时取到等号，所以函数的最小值为
．

考点：1．新定义问题；2．函数与不等式．

17．（1）1；（2）9

【解析】

试题分析：（1）由均值不等式易得
的最大值为1．（2）利用
将所求化为

再运用均值不等式求最值。

试题解析：（1）
(2分）

（3分）
（4分）

（7分）

（9分）

（10分）

18．（1）最小值是
，最大值是0；（2）
．

【解析】（1）
，（3分）

因为
，所以

（5分）

所以 函数
的最小值是
，
的最大值是0 （6分）

（2）由
解得C=
，又
与向量
共线

① （8分）

由余弦定理得
②

解方程组① ②得
．（10分）

考点：二倍角公式与两角和与差的正弦公式，正弦定理与余弦定理，向量共线．

19．（1）
,
;（2）
．

【解析】

试题分析：（1）根据公式
可求得
,因为数列
为等比数列,所以
时
也适合
时
的解析式．从而可求得
．（2）由（1）知
,因为通项公式符合等差乘等比的形式,所以应用错位相减法求数列的和．

试题解析：解：（1）当
时，
（1分）

当
时，
（3分）

又
为等比数列，∴
适合上式

∴
，得

此时
（5分）

（2）

①

② （ 8分）

①-②得

∴
（12分）

考点：1公式法求通项公式;2错位相减法求数列的和．

20. 解：（Ⅰ）由题意知，AD∥EC且AD=EC，所以四边形ADCE为平行四边形，

∴AE=DC=a，

∴△ABE为等边三角形，

∴∠AEC=120°，

∴
…（1分）

连结B1G，则B1G⊥AE，又平面B1AE⊥平面AECD交线AE，

∴B1G⊥平面AECD且
…（2分）

∴
…（4分）

（Ⅱ）证明：连接ED交AC于O，连接OF，

∵AEDC为菱形，且F为B1D的中点，

∴FO∥B1E，…（6分）

又B1E?面ACF，FO?平面ACF，

∴B1E∥平面ACF …（8分）

（Ⅲ）证明：连结GD，则DG⊥AE，又B1G⊥AE，B1G∩GD=G，

∴AE⊥平面B1GD．…（10分）

又AE∥DC，∴DC⊥平面B1GD，又DC?平面B1DC

∴平面B1GD⊥平面B1D