2015年秋季南侨中学、荷山中学、南安三中、永春三中、永春侨中

高中毕业班第一次联合考试数学（理科）试题

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目涂写在答题卡上．

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干　　

净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，

则右图中的阴影部分表示的集合为（ ）

A．{2} B．{4，6}

C．{1，3，5} D．{4，6，7，8}

2．已知
，且
为纯虚数，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3．已知函数
是定义在
上的偶函数，
在
上是单调函数，且
，则下列不等式中一定成立的是（ ）

A.
B.
C.
D.

4．已知
是首项为1的等比数列，且
，则数列
的前5项和为（ ）

A. 31 B.
C.11 D.

5．已知角
顶点在原点，始边为
轴正半轴，终边与圆心在原点的单位圆交于点
，

则
( )

A．
B．
C．
D．

6. 已知{an}为等差数列，a2＋a8＝，则S9等于 (　　)

A．6 B．5 C．4 D．7

7. 设
、
是两个不同的平面，
为两条不同的直线.

命题p：若平面
，
，
，则
；

命题q：
，
，
，则
，则下列命题为真命题的是( )

A．p或q B．p且q　　 C．
或q　 D．p且

8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（ ）

A．
B．

C．
D．

9. 函数
（其中
）的图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将
的图象

A．向左平移
个单位长度 B．向右平移
个单位长度

C．向左平移
个单位长度 D．向右平移
个单位长度

10．若点
是
所在平面内一点，且满足
=
+
，则
与
的面积之比等于（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知三棱锥
中，平面
平面
，
,
,

,则三棱锥
的外接球的大圆面积为（? ?）

A．
B．
C．
D．

12. 已知函数
与
的图像上存在关于
轴对称的点，则
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；

2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分

13. 幂函数
过点
，则定积分
＝　 　．

14.已知向量
＝(cos α，－2)，
＝(sin α，1)，且
∥
，则
等于

15. 变量
满足约束条件
，且
得最小值为
，则
.

16.等差数列
的前
项和为
，已知
，且
，
，则
=__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．(本小题满分12分)已知向量
,
，
.

（Ⅰ）若
，求向量
，
的夹角
；

（II）求函数
的最大值．

18．(本小题满分12分)已知等差数列
的公差不为零，其前n项和为
，若
=70，且
成等比数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前n项和为
．

19．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，
．

（Ⅰ）求sin∠BAD的值；

（Ⅱ）求
及AC边的长．

20．(本小题满分12分)用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，则截面与底面之间的部分叫棱台．如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．

（Ⅰ）求证：B1B∥平面D1AC；

（Ⅱ）求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．

21．（本小题满分12分）已知函数
(其中
为常数且
)在
处的切线与x轴平行.

（Ⅰ）当
时，求
的单调区间；

（Ⅱ）若
在
上的最大值为
，求
的值.

请考生从22、23、24题中任选一题作答．

选修4-1：几何证明选讲

22．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．

选修4-4：坐标系与参数方程

23． 已知曲线C1的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为
．

（Ⅰ）求曲线C1、C2的普通方程；

（Ⅱ）若曲线C1、C2有公共点，求
的取值范围．

选修4-5：不等式选讲

24． 已知定义在
上的函数
的最小值为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，
是正实数，且
，求
的最小值．

参考答案及评分标准

一、选择题

1--5． BDCBD 6--10．ACCA D 11--12．AB

二、填空题

13..
14.
. 15.
. 16.

三、解答题：

17.解：（1）当
时，
，

所以，
，因而
；…………….6分　　　　

（2）
，

所以函数
的最大值是

18．解：（Ⅰ）由题知
，即
， ------2分

解得
或
（舍去）， -----------4分

所以数列的通项公式为
． -------6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
， 则
-----9分

则

- ---12分

19.考点：正弦定理．

专题：解三角形．

分析：（1）由BD，sinB，AD的值，利用正弦定理求出sin∠BAD的值即可；

（2）由sinB的值求出cosB的值，由sin∠BAD的值求出cos∠BAD的值，利用两角和与差的余弦函数公式求出cos∠ADC的值，在三角形ACD中，利用余弦定理即可求出AC的长．

解答： 解：（1）在△ABD中，BD=2，sinB=
，AD=3，

∴由正弦定理
=
，得sin∠BAD=
=
=
；…………….5分

（2）∵sinB=
，∴cosB=
，

∵sin∠BAD=
，∴cos∠BAD=
，

∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=
×
﹣
×
=﹣
，…………….9分

∵D为BC中点，∴DC=BD=2，

∴在△ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+DC2﹣2AD?DCcos∠ADC=9+4+3=16，

∴AC=4．…………….12分

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．

20.考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

专题： 综合题；空间角．

分析： （Ⅰ）建立空间直角坐标系，证明
，可得B1B∥D1E，利用线面平行的判定，可得B1B∥平面D1AC；

（II）求得平面B1AD1、平面D1AC的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：以D为原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图，则有A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2），D1（0，0，2）．…（3分）

设AC∩BD=E，连接D1E，则有E（1，1，0），
=（1，1，﹣2），所以B1B∥D1E，

∵B1B?平面D1AC，D1E?平面D1AC

∴B1B∥平面D1AC；…（6分）

（II）解：

设
为平面B1AD1的法向量，则
，即
，

于是可取
…（8分）

同理可以求得平面D1AC的一个法向量
，…（10分）

∴cos＜
＞=
=

∴平面B1AD1与平面CAD1夹角的余弦值为
．…（12分）

点评： 本题考查了线面平行的判定，考查二面角平面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．

21.解：（1）因为
所以
………………2分

因为函数
在
处切线与x轴平行

………………3分

当
时，
,
，

随的变化情况如下表：

















0



0









 极大值



 极小值





所以
的单调递增区间为
,
单调递减区间为
………………6分

(2)因为

令
,
………………6分

时，
在
上单调递增，在
上单调递减

所以
在区间
上的最大值为
，令
，解得
,所以
………………8分

当
，

当
时，
在
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增

所以最大值1可能在
或
处取得

而

所以
，解得
，
……………10分

当
时,
在区间
上单调递增，
上单调递减，
上单调递增

所以最大值1可能在
或
处取得

而

所以
，

解得
，与
矛盾………………11分

当
时，
在区间
上单调递增，在
单调递减，

所以最大值1可能在
处取得，而
，矛盾

综上所述，.
或
………………12分

请考生从22、23、24题中任选一题作答．选修4-1：几何证明选讲

22．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC三边的高，H是垂心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点G．求证：DH=DG．

考点： 与圆有关的比例线段．

专题： 计算题；直线与圆．

分析： 连结CG，利用同角的余角相等证出∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC．根据同弧所对 的圆周角相等，证出∠GCB=∠FCB，从而得出∠GCB=∠FCB，得△CHG是以HG为底边的等腰三角形，利用“三线合一”证出DH=DG．

解答： 解：连结CG，

∵AD⊥BC，∴∠ABC+∠GAB=90°

同理可得∠ABC+∠FCB=90°，从而得到∠GAB=∠FCB=90°﹣∠ABC

又∵∠GAB与∠GCB同对弧BG，

∴∠GAB=∠GCB，可得∠GCB=∠FCB，

∵CD⊥GH，即CD是△GCH的高线

∴△CHG是以HG为底边的等腰三角形，可得DH=DG．

点评： 本题给出圆内接三角形的垂心，求证线段相等．着重考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形的性质等知识，属于基础题．

选修4-4：坐标系与参数方程

23． 已知曲线C1的参数方程为
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2．

（1）求曲线C1、C2的普通方程；

（2）若曲线C1、C2有公共点，求a的取值范围．

考点： 直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．

专题： 坐标系和参数方程．

分析： （1）由参数方程和普通方程的关系易得曲线C1、C2的普通方程分别为：
x+y﹣
a=0，x2+y2=4；

（2）由直线和圆的位置关系可得圆心（0，0）到直线
x+y﹣
a=0的距离d≤2，由距离公式可得d的不等式，解不等式可得．

解答： 解：（1）∵曲线C1的参数方程为
（t为参数），

∴消去参数t可得
x+y﹣
a=0，

又曲线C2的极坐标方程为ρ=2，

∴
=2，平方可得x2+y2=4，

∴曲线C1、C2的普通方程分别为：
x+y﹣
a=0，x2+y2=4；

（2）若曲线C1、C2有公共点，

则圆心（0，0）到直线
x+y﹣
a=0的距离d≤2，

∴
≤2，解得﹣
≤a≤

∴a的取值范围为：[﹣
，
]

点评： 本题考查直线和圆的参数方程，涉及直线和圆的位置关系，属基础题．

选修4-5：不等式选讲

24． 已知定义在R上的函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若m，n是正实数，且m+n=a，求
+
的最小值．

考点： 基本不等式在最值问题中的应用；带绝对值的函数．

专题： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

分析： （1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和可知a=3；

（2）
+
=
+
=1+
+
≥1+2
=1+

．利用基本不等式．

解答： 解：（1）由|x﹣1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点﹣2的距离之和，

如图：

则x在[﹣2，1]上时，函数f（x）=|x﹣1|+|x+2|取得最小值a=3．

即a=3．

（2）由题意，m+n=3，

则
+
=
+

=
+
+
+
=1+
+
≥1+2
=1+

． 说明:字母有误,请老师们注意看

（当且仅当
=
时，等号成立）．

即
+
的最小值为1+

．

点评： 本题考查了绝对值函数的最值与基本不等式的应用，属于基础题．

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