大田一中2015—2016学年第一学期第二次阶段质量检测

高三数学试题

命题人：章永锋 审核人：刘珍王

（考试时间：2015年12月17日上午8：00-10：00 满分：150分 ）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1．命题“
,
”的否定是 （ D )

A.
B.
,
C.
,
D.
,

2．已知向量
若
与
平行，则实数
的值是（ D ）

A．－2 B．0 C．1 D．2

3. 已知集合
，
，则
为 ( B )

A. (0，＋
) B. (1，＋
)　 C. [2，＋
)　 D.［1，＋
)

4．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其体积等于( A )

A.
B.
C.
D.

5．已知双曲线
的一条渐近线方程是
，它的一个焦点坐标为（2,0），则双曲线的方程为( C )

A.
B.
C.
D.

6．已知实数
构成一个等差数列，则圆锥曲线
( m<0) 的离心率为( B )

A.
B.
C.
或
D.
或7

7、设2a＝5b＝m，且＋＝1，则m等于（ B ）

A． B．10 C．20 D．100

8．过点
的直线与圆
相切，且与直线
垂直，

则
=（C ）

A．
B． 1 C． 2 D．

9. 已知
为等比数列,
,
,则
（ D ）

A．
B.
C．
D.

10.已知函数
的最小正周期为
，且其图像向右平移
个单位后得到函数
的图像，则函数
的图像 ( B )

A．关于直线
对称 B．关于直线
对称

C．关于点
对称 D．关于点
对称

11.已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值是(　D　)

A.＋2　　B.＋1 C.－2 D.－1

12、定义在R上的奇函数
，当
时，
，则关于
的函数
的所有零点之和为（ B ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）

13.若
,其中
为虚数单位,则
___________.4

14．已知条件p：x2﹣3x﹣4≤0；条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是　 　．

解：∵条件p：x2﹣3x﹣4≤0；∴p：﹣1≤x≤4，

∵条件q：x2﹣6x+9﹣m2≤0，∴q：3﹣m≤x≤3+m，

若P是q的充分不必要条件，则
，解得：m≥4，

15.已知点
的坐标满足条件
那么
的取值范围是 ．

16、已知双曲线
上存在两点
关于直线
对称，且
中点在抛物线
上，则实数
的值为________．0或-8

三．解答题（17题到21题每题12分，选修题10分，共70分）

17．(本题满分12分) 已知等差数列{an}的首项a1＝2，a7＝4a3，前n项和为Sn．

(1) 求an及Sn；

(2) 设bn＝
，n∈N*，求bn的最大值．

(1) 设公差为d，由题意知a1＋6d＝4(a1＋2d)， 2分

由a1＝2解得d＝－3，

故an＝－3n＋5， …… 4分

Sn＝
，n∈N*． … 6分

(2) 由(Ｉ)得bn＝
＝
－
(n＋
)． 8分

由基本不等式得 n＋
≥2
＝8，… 10分

所以bn＝
－
(n＋
)≤
，又当n＝4时，bn＝
．

从而得bn的最大值为
．…… 12分

18．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系
中，
,
.(Ⅰ)求△ABC的面积；

(Ⅱ)若函数
|
|
的图像经过

A、C、Ｂ三点，且A、B为
的图像与x轴相邻的两个交点，求
的解析式 ．

(Ⅰ)在△ABC中由余弦定理可知：

…………2分

∴

…………4分

……6分

(Ⅱ) T=2×6=12,

∴
………8分

∵

，

，
. …………10分

又
，

． ……………12分

19．(本小题满分12分)如图，已知长方形
中，
，
，
为
的中点．将
沿
折起，使得平面
平面
．

(Ⅰ)求证：
；

(Ⅱ)若点
是线段
上的一动点，

问点
在何位置时，三棱锥
的体积

与四棱锥
的体积之比为1:3？

．(Ⅰ) 证明：∵长方形ABCD中， AB=
，AD=
，M为DC的中点，

∴AM=BM=2，∴BM⊥AM. ………………2分

∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM

∴BM⊥平面ADM ∵AD?平面ADM ∴AD⊥BM …6分

(Ⅱ)E为DB的中点． …………7分

……12分

20.(本题满分12分)设函数
.

(1)当
(
为自然对数的底数)时，求
的极小值；

(2)讨论函数
零点的个数；

解：(1)由题设，当m＝e时，f(x)＝ln x＋，则f′(x)＝，

∴当x∈(0，e)，f′(x)＜0，f(x)在(0，e)上单调递减，

当x∈(e，＋∞)，f′(x)＞0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，

∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝ln e＋＝2，∴f(x)的极小值为2. 6分

(2)由题设g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)，

令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)．

设φ(x)＝－x3＋x(x≥0)，则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)，

当x∈(0，1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0，1)上单调递增；

当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减．

∴x＝1是φ(x)的唯一极值点，且是极大值点，

因此x＝1也是φ(x)的最大值点．

∴φ(x)的最大值为φ(1)＝. 9分

又φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)，可知

①当m>时，函数g(x)无零点；

②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点；

③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点；

④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点．

综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点；

当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点；

当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点． 12分

21. 在平面直角坐标系
中,已知椭圆
经过（0，1），且离心率
，

（1）求椭圆方程。

（2）经过点(
且斜率
的直线
与椭圆
有两个不同的交点P和Q.

①求
的取值范围.

②设椭圆与
轴正半轴、
轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数
,使的向量
与
共线？如果存在,求
值;如果不存在,请说明理由.

解： (1)依题意得椭圆方程为

(2) ①由已知条件,直线
的方程为
代入椭圆方程得
①

整理得(
直线
与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于

△=
解得

即
的的取值范围为

②设P(
, 则
=
由方程①得
又
而A
所以
与
共线等价于
解得

由(1)知
矛盾,故没有符合题意的常数
.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，四边形
是边长为
的正方形，以
为圆心，
为半径的圆弧与以
为直径的半圆
交于点
，延长
交
于
．

求证：
是
的中点；（2）求线段
的长．

22.解：（1）证明：连结
，则
，

因为
是的切线，且
是圆
的弦，所以
，即
，

故
，所以
; ---------------------5分

23. （本小题满分10分）选修4— 4：坐标系与参数方程

极坐标系与直角坐标系
有相同的长度单位，以原点
为极点，以
轴正半轴为极轴，曲线
的极坐标方程为
，曲线
的参数方程为
，（
是参数，
是常数）

（1）求
的直角坐标方程和
的普通方程；

（2）若
与
有两个不同的公共点，求
的取值范围.

.解：（1）由极直互化公式得
，所以
；----2分

消去参数
得
的方程：
---------------4分

（2）由（1）知
是双曲线，
是直线，把直线方程代入双曲线方程消去
得：

，-------------------------7分

若直线和双曲线有两个不同的公共点， 则
，

解得：
-----------10分

24．选修4－5：不等式选讲

设函数
．

（Ⅰ）当
时，解不等式
；

（Ⅱ）若
的解集为
，
，求证：
．

解：（1）当
时，不等式为
，

不等式的解集为
； ---------------- 5分

（2）
即
，解得
，而
解集是
，

，解得
,所以

所以
．----------------- 10分

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