“四地六校”联考

2015-2016学年上学期第三次月考

高三数学（理科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：华安一中 审题人：华安一中

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、已知集合
( )

A.
B.
C.
D.

2. 欧拉公式
（
为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，
表示的复数在复平面中位于( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3.已知函数
的值域为
，则a的值是（ ）

4.在等比数列
中，
，
，则
( ）

A．-9 B. -6 C.6 D.9

5、已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）

A．

6、在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝2，则·的值是(　 　)

A.2 B．

C．0 D．1

7. 若函数
不是单调函数，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若

，则
的大小关系( )

A．
B．

C．
D．

9、已知
＞0，函数
上单调递减．则
的取值范围是（　 　）

10.对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前2015项和
＝( )

11. 定义行列式运算：
.若将函数

的图象向左平移

个单位后，所得图象对应的函数为奇函数，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且
,

则△ABC的面积最大值为（ ）

二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡相应位置).

13.已知等差数列
中，
，则
　

14直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的正弦值为

15. 已知变量
满足
,则
的最大值为

16. 在数列{an}中，a1＝1，an＋2＋(－1)nan＝1.记Sn是数列{an}的前n项和，则S200＝

三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17、（本题满分12分）

已知正项数列
的前
项和为
，且
，
，
成等差数列．

（1）求数列
的通项公式；

（2）若
，设数列
的前
项和
，证明

18、（本题满分12分）

如图，多面体ABCDEF中，正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，已知
，
，
，
，直线BE与平面ABCD所成的角的正切值等于

（1）求证：平面BCE⊥平面BDE；

（2）求平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值．

19. （本题满分12分）

已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0，0<
<)的部分图象如图所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.

(1)求函数y＝f(x)的对称轴方程；

(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[0，3]时，求函数h(x)＝f(x)·g(x)的值域．

20. （本题满分12分）

已知函数
．

（1）求函数

处的切线方程。

（2）若曲线
与
有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

21．（本题满分12分）设函数
，
．

（1）讨论函数
的单调性；

（2）如果对于任意的
，都有
成立，试求a的取值范围．

请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.

选修4—4：坐标系与参数方程

22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2cosθ，过点P(－2，－4)的直线l：(t为参数)与曲线C相交于M，N两点．

(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；

(2)证明|PM|，|MN|，|PN|成等比数列．

选修4—5：不等式选讲

23、设函数
的最小值为
．

（1）求
；

（2）已知两个正数
满足
求
的最小值．

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2015-2016学年上学期第三次月考

高三理科数学参考答案

一、选择题：1-12 ACCDB ACDCA BB

二、填空题：13.
14.
15.
16.5100

17.解：（1）由题意
，
，
成等差数列，
，

当
时
……………………1分

当
时
……………………2分

两式相减得
由
为正项数列
，……………………4分

因此数列{an}是以
为首项，以2为公比的等比数列．即
……………6分

（2）证明由（1）知
……………………7分

……………………8分

则
，……………………11分

即
……………………12分

18（1）证明：∵平面
平面ABCD，

平面
平面
，

，
，∴
平面ABCD，……………………1分

又
平面ABCD，
．

平面ABCD，
为BE与平面ABCD所成的角，

设
，则
，

在
中，
，
，……………………3分

在直角梯形ABCD中，
，

在
中，
，

，
，……………………4分

又
，
平面BDE，

又
，∴平面
平面
．……………………6分

(2)解：由题知，DA，DC，DE两两垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
，……………………7分

则
，

取平面CDE的一个法向量
，……………………8分

设平面BDF的一个法向量
，

则
即
令
，则
，

所以
．………………10分、

设平面BDF与平面CDE所成锐二面角的大小为
，

则
，……………………11分

所以平面BDF与平面CDE所成锐二面角的余弦值是
．……………………12分

19.解：(1)由条件，cos∠POQ＝＝，……………………1分

所以P(1，2)．所以A＝2，周期T＝4×(4－1)＝12，又＝12，则ω＝.将点P(1，2)代入f(x)＝2sin，得sin＝1，……………………3分

因为0<φ<，所以φ＝，所以f(x)＝2sin.……………………4分

函数y＝f(x)的对称轴方程为

即对称轴方程是
（
）……………………6分

(2)由题意，可得g(x)＝2sinx. …………………7分

所以h(x)＝f(x)·g(x)＝4sin·sin x

＝2sin2x＋2sin x·cos x

＝1－cos x＋sin x

＝1＋2sin.……………………9分

当x∈[0，3]时，x－∈，

所以sin∈.……………………11分

所以函数h(x)的值域为[0，3]．……………………12分

20解：（Ⅰ）∵函数
，

∴f'（x）=x2﹣3x+2，……………………1分

f'（3）=2，
……………………3分

在
处的切线方程是
…………………4分

即
…………………5分

（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即
，

∴
，

设g（x）=
，……………………7分

∵曲线y=f（x）与y=2x+m有三个不同的交点，

∴函数y=g（x）与y=m有三个不同的交点，

令g'（x）=0，解得x=0或x=3，

当x＜0或x＞3时，g'（x）＞0，

当0＜x＜3时，g'（x）＜0，

∴g（x）在（﹣∞，0），（3，+∞）单调递增，在（0，3）单调递减，………9分

∵
，

即
……………………11分

画出函数g（x）的大值图象如右图，

∴实数m的取值范围为
．……………………12分

21.（Ⅰ）

函数
的定义域为
，
，………………1分

当
时，
，函数
在区间
上单调递增；…………2分

当a>0时，若
，则
，函数
单调递增；……………3分

若
，则
，函数
单调递减；………………4分

所以，函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．………………5分

（Ⅱ）
，
，

可见，当
时，
，
在区间
单调递增，……6分

当
时，
，
在区间
单调递减，……7分

而
，所以，
在区间
上的最大值是1，

依题意，只需当
时，
恒成立，

即
恒成立，亦即
；……8分

令
，

则
，显然
，

当
时，
，
，
，

即
在区间
上单调递增；……10分

当
时，
，
，
，
上单调递减；

所以，当x=1时，函数
取得最大值
，……11分

故
，即实数a的取值范围是
……12分

22.解：(1)把代入ρsin2θ＝2cos θ，得y2＝2x……2分

由(t为参数)，消去t得x－y－2＝0，……4分

∴曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程分别是y2＝2x，x－y－2＝0. …5分

(2)证明将(t为参数)代入y2＝2x，

整理得t2－10t＋40＝0. ……7分

设t1，t2是该方程的两根，

则t1＋t2＝10，t1·t2＝40，

∵|MN|2＝(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝40……8分

|PM|·|PN|= t1·t2＝40，∴|MN|2==PM|·|PN|……9分

∴|PM|，|MN|，|PN|成等比数列……10分

23解：（I）函数
，……3分

当x∈（﹣∞，1]时，f（x）单调递减；

当x∈[1，+∞）时，f（x）单调递增，……4分

所以当x=1时，f（x）的最小值a=
．……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=
，由m2+n2≥2mn，得mn≤
，∴
≥
……7分

故有
+
≥2
≥
，当且仅当m=n=
时取等号．……9分

所以
+
的最小值为
．……10分

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