“四地六校”联考

2015-2016学年上学期第三次月考

高三数学（文科）试题

（考试时间：120分钟 总分：150分）

命题人：华安一中 审题人：华安一中

第Ⅰ卷 (选择题 共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知集合A={x|-5≤2x-1≤3,x∈R},B={x|x(x-8)≤0,x∈Z},则A∩B=(　　)

A.(0,2)　 B.[0,2]　 C.{0,2}　 D.{0,1,2}

2. 经过点
，且离心率e=
的双曲线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

3若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是（ ）

A.4 B.8 C.2
D.4

4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的左视图为（ ）

5．若
·
+
=0,则△ABC必定是(　　)

A. 直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形

6. 数列{(-1)n·n}的前2016项的和S2016为(　　)

A.-2016 B.-1008 C.2016 D.1008

7. 不等式组
满足
所围成的平面区域面积是( )

A．3 B．
C．
D．5

8. 若
，则
( )

A
? ?B
?? C．
? D．

9、定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(　　)

A. f(5)

C.f(5)

10. 已知命题p:函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(-1,1);

命题q:函数y=|sin x|的最小正周期为2π,则(　　)

(A)“p∧q”为真 (B)“p∨q”为假(C)p真q假 (D)p假q真

11．己知曲线
存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，

则实数a的取值范围为

(A)(3，+∞) (B)[ 3，
) (C) (一∞，
] (D)(0，3)

12．已知向量a=(2cosα,2sinα),b=(3cosβ,3sinβ),a与b的夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+
=0与圆(x-cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置关系是(　　)

A.相切 B.相交 C.相交且过圆心 D.相离

二.填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 设i是虚数单位,复数
为纯虚数,则实数a为　　　　.

14. 椭圆
的离心率为
，则

15．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 ．

16．已知函数
是定义在
上的奇函数，对
都有
成立，当
且
时，有
。给出下列命题

(1)
(2)
在[-2，2]上有4个零点

(3) 点(2016，0)是函数
的一个对称中心

(4)
是函数
图象的一条对称轴．则正确是 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（12）已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前n项和为Sn,且有Sn=2bn-1,

(1)求{an},{bn}的通项公式.

(2)若{cn}=
,{cn}的前n项和为Tn,求Tn.

18．（12分）设
的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知

（Ⅰ）求
的周长（Ⅱ）求
的值

19．（ 12分）如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为线段DD1,BD的中点.

(1)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.

(2)求三棱锥C-B1D1F的体积.

20.（12分）已知抛物线
的准线方程为
。

(Ⅰ)求抛物线
的标准方程；

(Ⅱ) 若过点
的直线
与抛物线
相交于
两点，且以
为直径的圆过原点
，求证
为常数，并求出此常数。

21、（12分）已知
是大于0的实数，函数
．

（1）若曲线
在点
处的切线平行与X轴，求
值；

（2）在（Ⅰ）的条件下，设
是
上的增函数，求实数
的最大值。

请考生在第(22)、(23)两题任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. (10分）《选修4-4》，在直角坐标系
中，直线
经过点
（-1，0），其倾斜角为
，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系.设曲线
的极坐标方程为

（1）若直线
与曲线
有公共点，求
的取值范围；

（2）设
为曲线
上任意一点，求
的取值范围

23. (10分）《选修4-5》，不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R.

(1)求实数m的取值范围.

(2)在(1)的条件下,当实数m取得最大值时,试判断
+
>
+
是否成立?并证明你的结论.

“四地六校”联考

2015-2016学年上学期第三次月考

高三数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.D 2.C 3.B 4.C 5.A 6.D 7.D 8.C 9.A 10.C 11.B 12.A

二.填空题: （本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

13. 2 14.
或3 15.
16. (1). (3)

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17． （12分）解：(1)因为{an}是等差数列,且a3=5,a7=13, 设公差为d.

所以
解得

所以an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*). …………3分

在{bn}中,因为当n=1时,b1=2b1-1,所以b1=1.

当n≥2时,由Sn=2bn-1及Sn-1=2bn-1-1可得bn=2bn-2bn-1,所以bn=2bn-1.

所以{bn}是首项为1公比为2的等比数列, 所以bn=2n-1(n∈N*). …………6分

(2)cn=

, ……………………8分

Tn=c1+c2+…+cn

=

……………………10分

=

. (n∈N*). …………12分

18．（ 12分）（Ⅰ）

的周长为
…………5分

（Ⅱ）

……………………8分

，故A为锐角，

……………………10分

…………12分

19．（ 12分）解：(1)连接BD1,由E,F分别为线段DD1,BD的中点,

可得EF∥BD1,故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角. …………2分

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,

因为BC⊥平面CDD1C1, CD1?平面CDD1C1, 所以BC⊥CD1. …………4分

在Rt△BCD1中, BC=2,CD1=2
,

所以tan∠D1BC=
=
,

所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为
. ……………………6分

(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由BB1⊥平面ABCD, CF?平面ABCD,可知BB1⊥CF,

因为CB=CD,F是BD中点, 所以CF⊥BD,又BB1与BD相交,

所以CF⊥平面BDD1B1, ……………………9分

又
=
B1D1·BB1=
×2
×2=2
,

故
=
·CF=
×2
×
=
,

所以三棱锥C-B1D1F的体积为
. ……………………12分

20.（12分）解（1）由准线方程为
可设抛物线C的方程

求得
………………………2分 故所求的抛物线C的方程为：
…………… ………………4分

（2） 依题意可设过P的直线l方程为：
（m
）， …………6分

设
由
得：

依题意可知
，且
………………8分

原点
落在以
为直径的圆上

令

即
………………10分

解得：
即
为常数，∴ 原题得证 ………………12分

（说明：直线l方程也可设为：y=k（x-
），但需加入对斜率不存在情况的讨论，否则扣1分）

21、（12分）

解：（Ⅰ）
，………………………1分

因为
，所以
． ………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得
，所以

，
……………6分

∵
是
上的增函数，∴
在
上恒成立，

即
在
上恒成立。 ………………8分

设
∴
上恒成立。

∴
在
上恒成立 ………………10分

令

∴
∴实数
的最大值是36。 ………………12分

22．（ 10分）解：（1）将曲线
的极坐标方程
化为直角坐标方程为

直线
的参数方程为
（
为参数） 将
代入
整理得
………………………………3分

直线
与曲线
有公共点，

的取值范围是
……………… 5分

(2)曲线
的方程
可化为
，其参数方程为

（
为参数）

为曲线
上任意一点，

……………… 8分

的取值范围是
……………… 10分

23．（本小题满分12分）

解：绝对值不等式性质知:

|x+1|+|x-2|≥|x+1+2-x|=3对x∈R恒成立.

故|x+1|+|x-2|≥m的解集为R,只需m≤3即可,

所以m的取值范围是(-∞,3]. ……………… 5分

(2)由(1)知实数m的最大值为3, ……………… 6分

当m=3时,不等式
+
>
+
成立.

证明如下:要使
+
>
+
成立,

只需(
+
)2>(
+
)2,

等价于13+2
>13+2
,

等价于
>
,

等价于42>30,而42>30显然成立,故所证不等式成立. ……………… 10分

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