天水市第一中学高三上学期第三次考试

数学（理科辅导班）试题

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩?RB=( )

A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2}

2.
（ ）

A．
B．
C．
D．

3已知向量
=（cosα，﹣2），
=（sinα，1），且
∥
，则tan（α﹣
）等于( )

A．3 B．﹣3 C．
D．

4.已知
，
，
，则 （ ）

A．
B．

C．
D．

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且
=0，则k=( )

A．2 B．±2 C．±
D．

7.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是( )

A．①④ 　　 B．②③ C．②④ D．①③

8.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若am，an满足
=8a1，则
+
的最小值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8

9.已知
的图像与直线y=1的两个交点的最短距离是
，要得到
的图像，只需要把
的图像( )

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右
平移个单位

10若O是△ABC的重心，

=﹣2，A=120°，则|
|的最小值为( )

A．
B．
C．
D．

11已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
且f（x+2）=f（x），g（x）=
，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )

A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0

12.过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶 点为M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（）

A．（
，＋∞） B．（1，
） C．（2，＋∞） D．（1，2）

二、填空题(每小题5分，共20分)

13. 以抛物线
的焦点为圆心，以焦点到准线的距离为半径的圆被双曲线
的渐近线截得的弦长为 ．

某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 __________

15.已知函数f（x）=3x2+2x+1，若 成立，则a=___________.

16. 定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，如果函数
，
，
（
）的“新驻点”分别为
，
，
，那么
，
，
的大小关系是 ．

三、解答题 （共70分）

17在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB+
acosB=
．

（1）求A的大小

（2）若c=3b，求tanC的值．

18. 已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．

（I）求an及Sn；

（II）求数列{
}的前n项和为Tn．．

19．

如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；

（2）求二面角B－PC－D的余弦值．



20.已知圆C的圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，圆C与直线x＋y＋2＝0相切。

（1）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1,1），M（－2，－2），求
的最小值.

（2）过点P（1,1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由。

21 已知点
,点
是圆C：
上的任意一点,，线段
的垂直平分线与直线
交于点
.

（1）求点
的轨迹方程；

（2）若直线
与点
的轨迹有两个不同的交点
和
，且原点
总在以
为直径的圆的内部，求实数
的取值范围．

22已知函数f（x）=lnx﹣
a（x﹣1）（a∈R）．

（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）试比较ea﹣2与ae﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．

答案 理辅

BDBDC BBAAC BC

13,
14 . 8 15.
或1 16

17解答： 解：（1）由正弦定理可得，

sinAsinB+
sinAcosB=
sinC，

又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

即有sinAsinB=
cosAsinB，

即tanA=
=
，

0＜A＜π，则A=
；

（2）由A=
，则B+C=
，

由正弦定理，可得c=3b，即为

sinC=3sinB，

即sinC=3sin（
﹣C）=3（
cosC+
sinC），

即有﹣sinC=3
cosC，

则tanC=
=﹣3
．

18.1，
2，

21答案及解析：

（1）由题意知
，∴
，

∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：
……………4分

（2）设
，则将直线与椭圆的方程联立得：
，

消去y,得：

……………6分

因为O在以PQ为直径的圆的内部，故
………7分

而

由
…………………9分

得：

, 且满足（*）式

M的取值范围是

22 答案及解析：

解：（Ⅰ） 因为a=﹣2时，f（x）=inx+x﹣1，
．

所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．

所以a=﹣2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．

（ II）（ i）由f（x）=lnx﹣
a（x﹣1），

所以
，

①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，

∴a≤0不合题意．

②当a≥2即
时，
在（1，+∞）上恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，

∴a≥2满足题意．

③若0＜a＜2即
时，由f′（x）＞0，可得
，由f′（x）＜0，可得x
，

∴f（x）在
上单调递增，在
上单调递减，

∴
，

∴0＜a＜2不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．

（ ii）a≥2时，“比较ea﹣2与ae﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”

设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．

则
．

∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．

当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以ex﹣2＜xe﹣2．

当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴ex﹣2＞xe﹣2．

综上所述，当a∈[2，e）时，ea﹣2＜ae﹣2；

当a=e时，ea﹣2=ae﹣2；

当a∈（e，+∞）时，ea﹣2＞ae﹣2．

【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．

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