天水市第一中学高三上学期第三次考试

数学（文科辅导班）试题

一、选择题(每小题5分，共60分)

1.设集合

，集合
，则集合
＝（）

A．[0,2] B．(1,3) C．[1,3) D．(1,4)

2.
（ ）

A．
B．
C．
D．
[

3.已知向量
的夹角为45°，且
，则
＝( )

A．
B
C．
D． 4

4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则( )

A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m⊥α，m∥β，则α⊥β D．若m∥α，n?α，则m∥n

5.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则“a＞b”是“cos2A＜cos2B”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6.已知直线l：x﹣ky﹣5=0与圆O：x2+y2=10交于A，B两点且
=0，则k=( )

A．2 B．±2 C．±
D．

7.已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若am，an满足
=8a1，则
+
的最小值为( )

A．2 B．4 C．6 D．8

8. 设
，
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为
，则
的最大值为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

9.在△ABC中，AD为BC边上的高，给出下列结论：

以上结论正确的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10.已知函数
的最小正周期为π，将y=f（x）的图象向左平移|φ|个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的一个值是( )

A．
B．
C．
D．

11过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶 点为M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ）

A．（
，＋∞） B．（1，
） C．（2，＋∞） D．（1，2）

12. 已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
且f（x+2）=f（x），g（x）=
，则方程f（x）=g（x）在区间上的所有实根之和为( )

A．﹣8 B．﹣7 C．﹣6 D．0

二、填空题(每小题5分，共20分)

13. 函数
的定义域为

14若M是抛物线y2=4x上一点，且在x轴上方，F是抛物线的焦点，直线FM的倾斜角为60°，则|FM|= ．

15已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为
[

16. 定义方程
的实数根
叫做函数
的“新驻点”，如果函数
，
，
（
）的“新驻点”分别为
，
，
，那么
，
，
的大小关系是

三、解答题(共70分)

17. 在锐角
中，
，
，
分别为内角
，
，
所对的边，且满足
．

（I）求角
的大小；

（II）若
，且
，
，求
的值

18. 已知等差数列{an}满足：a3=7，a5+a7=26，{an}的前n项和为Sn．

（I）求an及Sn；

（II）求数列{
}的前n项和为Tn．

19. 如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；

（Ⅱ）求几何体D﹣ABC的体积．

20.已知圆C的圆心C与点A（2,1）关于直线4x＋2y－5＝0对称，圆C与直线x＋y＋2＝0相切。

（1）设Q为圆C上的一个动点，若点P（1,1），M（－2，－2），求
的最小值；

（2）过点P（1,1）作两条相异直线分别与圆C相交于A，B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由。

21 已知点
,点
是圆C：
上的任意一点,，线段
的垂直平分线与直线
交于点
.

（1）求点
的轨迹方程；

（2）若直线
与点
的轨迹有两个不同的交点
和
，且原点
总在以

为直径的圆的内部，求实数
的取值范围．

22已知函数f（x）=lnx﹣
a（x﹣1）（a∈R）．

（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若不等式f（x）＜0对任意x∈（1，+∞）恒成立．

（ⅰ）求实数a的取值范围；

（ⅱ）试比较ea﹣2与ae﹣2的大小，并给出证明（e为自然对数的底数，e=2.71828）．

文普答案

CDCCC BADDD CB

13.(1，1+e) 14 ,4 15 .
16

18.1，
2，

21答案及解析：

（1）由题意知
，∴
，

∴E的轨迹是以C、A为焦点的椭圆，其轨迹方程为：
……………4分

（2）设
，则将直线与椭圆的方程联立得：
，

消去y,得：

……………6分

因为O在以PQ为直径的圆的内部，故
………7分

而

由
…………………9分

得：

, 且满足（*）式

M的取值范围是

22答案及解析：

【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．

【分析】（1）一求切点，二求切点处的导数，即切线的斜率；

（2）只需求出函数f（x）在区间[1，+∞）上的最大值即可，利用导数研究单调性，进一步求其最值构造不等式求解；比较大小可将两个值看成函数值，然后利用函数的性质求解．

解：（Ⅰ） 因为a=﹣2时，f（x）=inx+x﹣1，
．

所以切点为（1，0），k=f′（1）=2．

所以a=﹣2时，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x﹣2．

（ II）（ i）由f（x）=lnx﹣
a（x﹣1），

所以
，

①当a≤0时，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=0，

∴a≤0不合题意．

②当a≥2即
时，
在（1，+∞）上恒成立，

∴f（x）在（1，+∞）上单调递减，有f（x）＜f（1）=0，

∴a≥2满足题意．

③若0＜a＜2即
时，由f′（x）＞0，可得
，由f′（x）＜0，可得x
，

∴f（x）在
上单调递增，在
上单调递减，

∴
，

∴0＜a＜2不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）．

（ ii）a≥2时，“比较ea﹣2与ae﹣2的大小”等价于“比较a﹣2与（e﹣2lna）的大小”

设g（x）=x﹣2﹣（e﹣2）lnx，（x≥2）．

则
．

∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，因为g（e）=0．

当x∈[2，e）时，g（x）＜0，即x﹣2＜（e﹣2）lnx，所以ex﹣2＜xe﹣2．

当x∈（e，+∞）时g（x）＞0，即x﹣2＞（e﹣2）lnx，∴ex﹣2＞xe﹣2．

综上所述，当a∈[2，e）时，ea﹣2＜ae﹣2；

当a=e时，ea﹣2=ae﹣2；

当a∈（e，+∞）时，ea﹣2＞ae﹣2．

【点评】本题主要考查函数、导数、不等式等基本知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程的思想、分类整合思想、数形结合思想．

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