2016年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考

数学试卷(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
,向量
且
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
有解，
,则下列选项中是假命题的为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．若不等式
所表示的平面区域为
，不等式组
表示的平面区域为
，现随机向区域
内抛一粒豆子，则豆子落在区域
内的概率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

6．函数
的图象大致是 （ ）

A． B． C． D．

7．正项等比数列
中的
，
是函数
的极值点，则
（ ）

A．
　　　 　 B．
　　 　 C．
　　　　 　　 D．

8．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知抛物线
的焦点到双曲线
的一条渐近线的距离为
，则该双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．面积为
的正六边形的六个顶点都在球
的球面上，球心
到正六边形所在平面的距离为
.记球
的体积为
,球
的表面积为
,则
的值是 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
，若方程
有四个不同实根，则
的范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题
第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题
第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13．已知
，则
的值为 .

14．若直线
，
平分圆
,则
的最小值是 .

15．记等差数列
的前
项和为
，若
，
则
.

16．如右图:
，
是半径为
的圆
上两点，且
．

若点
是圆
上任意一点，则
·
的取值范围是 ．

三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．

17．(本小题满分12分)

已知
中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且
是关于
的一元二次方程
的两根.

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若
，设
，
的周长为
，求
的最大值．

18．(本小题满分12分)

为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重(单位：kg)，获得的所有数据按照区间(40，45]，(45，50]，(50，55]，(55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间(45，50]上的女生数与体重在区间(55，60]上的女生数之比为4:3．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)从样本中体重在区间(50，60]上的女生中随机抽取两人，求 体重在区间(55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．

19．(本小题满分12分)

在三棱柱
中,
,

侧棱
平面
.
,
分别是棱
,
的中点,

点
在棱
上,且
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求三棱锥
的体积.

20．(本小题满分12分)

已知椭圆
：
的一个焦点为
，左右顶点分别为
，
.

经过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值.

21．(本小题满分12分)

已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.

(Ⅰ) 求函数
的单调区间；

(Ⅱ) 当
时，
，求实数
的取值范围。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
,过点
作圆

的切线交
的延长线于点
，
的平分线分别

交圆
和
于点
,
,若
.

(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)求
·
的值.

23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．

已知直线l的参数方程为
(
为参数)，在直角坐标系
中，以
点为极点，

轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆
的方程为
．

(Ⅰ)求圆
的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线
截圆
所得弦长为
，求实数
的值.

24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知不等式
的解集为
．

(Ⅰ)求集合
；

(Ⅱ)若
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.2016年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学试卷(文科)参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

B

B

C

B

B

A

B

C

B

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
； 14．
； 15．
； 16．
.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. （本小题满分12分）

解答：

(Ⅰ)解：在△ABC中，依题意有：
2分

∴
，又
，∴
6分

(Ⅱ)解：由
及正弦定理得：
∴
8分故
即
10分

由
得：
∴当
，即
时，
． 12分

18. （本小题满分12分）

解答：

(Ⅰ) 样本中体重在区间(45，50]上的女生有a×5×20=100a(人)， 1分

样本中体重在区间(50，60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人)， 2分

依题意，有100a=
×100(b+0.02)，即a=
×(b+0.02)．① 3分

根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1， ② 4分

解①②得：a=0.08，b=0.04． 6分

(Ⅱ)样本中体重在区间(50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为

A1，A2，A3，A4， 7分

体重在区间(55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B1，B2． 8分

从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：

(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，

(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)． 10分

其中体重在(55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：

(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)． 11分

记“从样本中体重在区间(50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间(55，60]上的女生

至少有一人被抽中”为事件M，则P(M)=
． 12分

19. （本小题满分12分）

解答：

(Ⅰ) 证明：设O为
的中点，连结A1O，

∵
，O为AB的中点，∴F为AO的中点，

又E为AA1的中点，∴
．

又∵D为A1B1的中点，O为AB的中点，∴A1D=OB．

又
，∴四边形A1DBO为平行四边形．

∴A1O||BD．又EF||A1O，∴EF||BD．

又EF(平面DBC1，BD(平面DBC1．

∴EF||平面DBC1． 6分

(Ⅱ) ∵AB=BC=CA=AA1=2，

D、E分别为A1B1、AA1的中点，AF=
AB，

∴C1D⊥面ABB1A1．

而
，

=
．

∵
．

∴
． 12分

20．(本小题满分12分)

解答：

（I）因为
为椭圆的焦点,所以
又