2016年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联考

数学试卷(理科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将试题纸和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：（本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．复数
满足
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

3．设
,向量
且
,则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知
有解，
,则下列选项中是假命题的为 （ ）

A．
B．
C．
D．

5．函数
的图象大致是 （ ）

A． B． C． D．

6．设
是一个正整数，
的展开式中第四项的系数为
，记函数
与
的图象所围成的阴影部分为
，任取
，
，则点
恰好落在阴影区域
内的概率是 （ ）

A．
　 　 B．
C．
　　 D．

7．正项等比数列
中的
，
是函数
的极值点，则
（ ）

A．
　　　 　 B．
　　 　 C．
　　　　 　 D．

8．一个几何体的三视图如上图所示，则这个几何体的体积为 （ ）

A．
B．

C．
D．

9．阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为 （ ）

A．
B．
C．
D．

10．已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点，点
为该抛物线的焦点，点
在抛物线上且满足
，当
取最小值时，点
恰好在以
，
为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）

A．
B．
C．
D．

11．体积为
的球
放置在棱长为4的正方体
上，且与上表面
相切，切点为该表面的中心，，则四棱锥
的外接球的半径为 （ ）

A．
B．
C．
D．

12．已知函数
.若存在实数
，
，
，
，当
时

满足
，则
的取值范围是 （ ） （ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题第21题为必考题，每个试题考生都必修作答．第22题第24题为选考题，考生根据要求作答．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．

13．已知倾斜角为
的直线
与直线
垂直，则
的值为

14．若实数
，且
，则当
的最小值为
，函数
的零点个数为

15．已知不等式组
所表示的区域为
，
是区域
内的点，点
，则
的最大值为 .

16．方程
的根称为函数
的不动点，若函数
有唯一不动点，且
，

，则
.

三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．

17．(本小题满分12分)

已知
中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且
是关于
的一元二次方程
的两根.

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若
，设
，
的周长为
，求
的最大值．

18．(本小题满分12分)

在一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如下表所示:

(Ⅰ)根据表中数据，求物理分
对数学分
的回归直线方程；

(Ⅱ)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动，以
表示选中的同学中

物理成绩高于90分的人数，求随机变量
的分布列及数学期望

附：回归方程
，
，
，其中
为样本平均数.

学生













数学（
分）

89

91

93

95

97



物理（
分）

87

89

89

92

93





19．(本小题满分12分)

在三棱柱
中,
,

侧棱
平面
，且
,
分别是棱
,
的中点,

点
在棱
上,且
.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求二面角
的余弦值.

20．(本小题满分12分)

已知椭圆
：
的一个焦点为
，左右顶点分别为
，
.

经过点
的直线
与椭圆
交于
，
两点.

（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）当直线
的倾斜角为
时，求线段
的长；

（Ⅲ）记
与
的面积分别为
和
，求
的最大值.

21．(本小题满分12分)

已知函数
，其中
，
为自然对数的底数.

(Ⅰ)当
时，讨论函数
的单调性；

(Ⅱ)当
时，求证：对任意的
，

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
,过点
作圆

的切线交
的延长线于点
，
的平分线分别

交圆
和
于点
,
,若
.

(Ⅰ)求证：

(Ⅱ)求
·
的值.

23．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程．

已知直线l的参数方程为
(
为参数)，在直角坐标系
中，以
点为极点，x

轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆
的方程为
．

(Ⅰ)求圆
的直角坐标方程；

(Ⅱ)若直线l截圆
所得弦长为
，求实数
的值.

24．(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知不等式
的解集为
．

(Ⅰ)求集合
；

(Ⅱ)若
，
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.2016年1月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试

数学试卷(理科)参考答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

D

A

B

B

C

D

B

A

B

C

B

D



二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
； 14．
； 15．
； 16．
.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. （本小题满分12分）

(Ⅰ)解：在△ABC中，依题意有：
2分

∴
，又
，∴
6分

(Ⅱ)解：由
及正弦定理得：

∴
8分故
即
10分

由
得：
∴当
，即
时，
． 12分

18. （本小题满分12分）

解答：

(Ⅰ)

，
2分

故物理分
对数学分
的回归直线方程是
6分

(Ⅱ)随机变量
的所有可能取值为0,1,3. 7分

9分

故