2015学年第一学期第三次四校联考

高 三 数 学（理科）试 卷

（满分150分，考试时间：120分钟）

参考公式：

柱体的体积公式：
其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高

锥体的体积公式：
其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高

台体的体积公式：
其中S1、S2分别表示台体的上、下底面积，
表示台体的高

球的表面积公式：
球的体积公式：
其中
表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ▲ ）

A．{－1,0,1,2} B．{－2，－1,0,1} C．{0,1} D．{－1,0}

2.下列命题中真命题是（ ▲ ）

A．“a>b”是“a2>b2”的充分条件 B．“a>b”是“a2>b2”的必要条件

C．“a>b”是“ac2>bc2”的必要条件 D．“a>b”是“|a|>|b|”的充要条件

3. 在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（▲ ）

4.已知m，n为两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ▲ ）

A．若m //n，m?α，则n //α B．若m //n，m?α，n?β，则α //β

C．若α⊥γ，α⊥β，则β // γ D．若m //n，m⊥α，n⊥β，则α // β

5.已知
，则tan(2π－α)的值为（ ▲ ）

A．－ B. C．±  D. 

6.已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝（ ▲ ）

A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3

7.如图，在△OMN中，A,B分别是OM,ON中点，若
，且点P落在四边形ABNM内（含边界），则
的取值范围是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

8.若存在实数a ，对于任意实数x∈[0,m]，均有(sinx－a)(cosx－a)≤0，则实数m的最大值是（ ▲ ）

A．
B．
C．
D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分．

9. 等差数列
中，
，
，则公差d= ▲ .
▲ .；

10. 设双曲线C经过点(2,2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ▲ ；离心率等于 ▲ ．

11．设f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值是 ▲ ；f(a)= ▲ ；

12．已知点M(1,0)，直线l:
；则过点M且与直线l平行的直线方程为 ▲ ；以M为圆心且被l截得的弦长为
的圆的方程是 ▲ .

13. 在平面直角坐标系XOY中，点集
所对应的平面区域的面积为 ▲ .

14. 设
、
是直角梯形ABCD两腰的中点，
于
(如图)，
．现将
沿
折起，使二面角
为
，
分别是线段
和线段
上任意一点，若
时，求
长度的取值范围 ▲ .

15. 设关于
的方程
和
的实根分别为
和
，若
，则实数
的取值范围为 ▲

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．(本题满分14分)

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c, 已知△ABC的面积
.

（Ⅰ）求
与
的值；

（Ⅱ）设
,若
,求
的值.

17．(本题满分15分)

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．

(1)证明： CD⊥平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．

18．(本题满分15分)

已知椭圆C：
的离心率 e =
,且经过点(0,3)， 左右焦点分别为F1,F2,

（1）求椭圆C的方程

（2）过F1作直线l与椭圆C交于A、B两点，求△ABF2的面积S的最大值，并求出S取最大值时直线l的方程。

19. (本题满分15分)

在数列
中，
，前
项和
满足

(1)求
的值

(2)令
，数列
的前
项和为
，求证：
。

20. (本题满分15分)

已知函数
，设函数
在区间
上的最大值为
．

(1)若
，试求出
；

(2)若
对任意的
恒成立，试求
的最大值．