洛阳市2015-2016学年高中三年级统一考试

数学试卷（文A）　2015.12

本试卷共150分．考试时间120分钟．

第I卷（选择题，共60分）

生意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卷上．

2.考试结束，将答题卷交回．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合A＝{x｜x2＜2－x｝，B =｛x｜一1＜x＜2｝，则AUB＝

A．（一1，1）　B.（一2，2）　C.（一1，2）　D.（一2，1）

2、设i是虚数单位，则复数
的虚部为

A.一2 　B.一2i 　C. 2 　D. 2i

3.已知向量
＝（sinθ, cosθ），
＝ (2,，－1），若
，则cos 2θ+ Sin 2θ＝

　A、－
　　B、
　　　C、
　　D、

4．在区间［一2，2］上随机取两个实数a，b，则“ab＞1”是“｜a｜＋｜b｜＞2”的 A.充分不必要条件　B.必要不充分条件

C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

5.设等比数列
前n项和为
，若al＋8a4＝0，则
＝

A.、－
　　B、
　　C.
　　 D.

6.已知抛物线
=2px（p>0)的焦点F到准线的距离为2，若抛物线上一点P满足
，则点M的坐标为

A．（
，2
）或（
，－2
）　B.（
，
）或（
，－
）

C （2
，
）或（2
，－
）　　D.（
，
）或（
，－
）

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．48 　

B．54

C．56　

D．58

8．设x，y满足约束条件
，若｜4x＋6｜≤m恒成立，则实数m的取值范围是

A．（0，4］　B．（0，52］　C．［52，＋co）　D．［36，＋co）

9．执行如图所示程序框图，当输入x［一1，4］时，输出x属于

A．［0，1］　　

B．［0，2］

C．［－1，1］　

D．［1，4］

10．已知双曲线
的右焦点为F，若点A（一2a，b）与点F关于双曲线的一条渐近线对称，则该双曲线的离心率为

A．3　　　 B．
　　C．
　　 D．2

11．某几何体的一条棱长为
，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为
的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为

A．2
　　 B．2
　 C．4 　　D．2

12．规定：
，例如，

设g（x）＝lnx，函数h（x）＝m
（x）十
（x）一
，下列结论正确的是

A．当m

时，函数h（x）无零点

B．当m

时，函数h（x）恰有一个零点

C．当m

时，函数h（x）恰有两个零点

D．当m

时，函数h（x）恰有三个零点

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：共20分．

13．若点（2，1）在y＝
（a＞0，且
l）关于y＝x对称的图象上，则a＝　　　　．

14．若四面体ABCD中，AB＝CD＝BC＝AD＝
， AC＝BD＝
，则四面体的 外接球的表面积为　　　

15．已知△ABC中，
，则

＝　　　

16．已知函数
，则方程
的所有实

根构成的集合的元素个数为　　　

三、解答题：（本大题共6小题．共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分12分）

函数
的最大值为3，最小值为－1，其图象两条对称轴之间的最短距离为
，且f（
）＝1．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝
的单调递减区间．

18．（本小题满分12分）

已知数列
中，
·

（1）证明
是等差数列，并求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的前n项和为Sn，已知存在正整数m，使得

恒成立，求m的最小值．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P一ABCD中，PC＝AD＝CD＝
AB＝2，

AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．

（1）求证：BC⊥平面PAC；

（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面

与线段PB交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三梭

锥N一AMC的体积．

20．（本小题12分）

已知点N（1，3），若椭圆
上存在两点A、B，使得
，且线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点．

（1）求直线AB的方程；

（2）是否存在
，使得A、B、C、D四点共圆？若存在，写出圆的方程，若不存在，说明理由．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）=（m＋x）lnx在（1，f（1））处的切线与直线y=2x一4平行．

（1）求f（x）在区间［e，
）上的最小值；

（2）若对任意x
（0，1），都有
成立，求实数a的取值范围．

考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答

，时，用2B铅笔在答魔卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）

选修4一1：几何证明选讲

如图，圆O的直径AB＝10，P是AB延长线上一点，BP＝2，割线PCD交圆O于点C，D，过点P作AB的垂线，交直线 AC于点E，交直线AD于点F．

（1）求证：∠PEC＝∠PDF；

（2）求PE·PF的值．

23．（本小题满分10分）

选修4一4：坐标系与参数方程

在直角坐标xoy系中，直线l经过点P（一1，0），其倾斜角为
，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C的极坐标方程为
．

（l）写出直线l的参数方程，若直线l与曲线C有公共点，求
的取值范围；

（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x＋y的取值范围．

24．（本小题满分10分）

选修4一5：不等式选讲

设关于x的不等式|x一2|＜a（a
）的解集为A，且
．

（1）对于任意的x
R，｜x一1｜＋｜x一3｜
恒成立，且a
N，求a的值；

（2）若a十b=1，求
的最小值，并指出取得最小值时a的值．