2015—2016学年上期高三第二次精英对抗赛

（理科）数学试题

满分:150分 考试时间:120分钟

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共l2个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合
( )

A.
B.
C.
D.

2、复数
（
为虚数单位），则复数
的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

3．给出下列两个命题，命题
“
”是“
”的充分不必要条件；命题q：函数
是奇函数，则下列命题是真命题的是( )

A.
B.
C.
D.

4．设
若3是
与
的等比中项，则
的最小值为

A.25 B.24 C.36 D.12

5.如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的

A.
? B.
? C.
? D.
?

6.曲线
在点
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A．
B.
C.
D.

7．设x，y满足约束条件
， 若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值为12，则
的最小值为. -----------------------------( )

A．
B．
C．
D．

8．设
分别是等差数列
的前n项和，若
，则
( )

A．
B．
C．
D．

9.在
中，若
则
的最大值为 （ ）

A .
B.
C.
D.

10．已知O是
内部一点，
,
，且
则
的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11. ．已知函数
的图像关于直线
对称，且当
时，
成立，
,
,
，则
的大小关系是（?? ）

A．
B．
C．
D．

12.已知点
是抛物线
的对称轴与准线的交点，点
为抛物线的焦点，
在抛物线上且满足
，当
取最大值时，点
恰好在以
为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）

二. 填空题： 本大题共4小题，每小题5分．

13．已知等比数列
的第
项是二项式
展开式中的常数项，则
.

14. 冬季供暖就要开始，现分配出5名水暖工去3个不同的居民小区检查暖气管道， 每名水暖工只去一个小区， 且每个小区都要有人去检查， 那么分配的方案共有 种.

15.已知
，（其中
为自然对数的底数），方程

有四个实数根，则实数
的取值范围为 .

16.下列说法：

①函数
的零点只有1个且属于区间
;

②若关于
的不等式
恒成立，则
;

③函数
的图像与函数
的图像有3个不同的交点；

④函数
的最小值是1；

正确的有___________ .（请将你认为正确的说法的序号都写上）

三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17.（本小题满分10分）

如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛
与小岛
、小岛
相距都为
，与小岛
相距为
.小岛
对小岛
与
的视角为钝角，且
.

（Ⅰ）求小岛
与小岛
之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（Ⅱ）记小岛
对小岛
与
的视角为
，小岛
对小岛
与
的视角为
，求
的值.

19. （本小题满分12分）

微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人（被称为微商）．为了调查每天微信用户使用微信的时间，某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50名，其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”，否则称其为“非微信控”，调查结果如下：

微信控

非微信控

合计



男性

26

24

50



女性

30

20

50



合计

56

44

100



（1）根据以上数据，能否有
﹪的把握认为“微信控”与“性别”有关？

（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人赠送营养面膜1份，求所抽取5人中“微信控”和“非微信控”的人数；

（3）从（2）中抽取的5人中再随机抽取3人赠送200元的护肤品套装，记这3人中“微信控”的人数为
，试求
的分布列与数学期望．

参考公式：
，其中
．

参考数据：

0．50

0．40

0．25

0．05

0．025

0．010





0．455

0．708

1．321

3．840

5．024

6．635





20. 椭圆
，原点
到直线
的距离为
，其中：点
， 点
.（Ⅰ）求该椭圆
的离心率
；

（Ⅱ）经过椭圆右焦点
的直线
和该椭圆交于
两点，点
在椭圆上，
为原点，

若
，求直线
的方程．

21、（本小题满分12分）已知函数
，
.

（Ⅰ）已知过原点的直线
与
相切，求直线
的斜率
；

（Ⅱ）求函数

的单调区间；

（Ⅲ）当
时，有
，则
的取值范围是什么．

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

22．如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转
到O D．

（1）求线段PD的长;

（2）在如图所示的图形中是否有长度为
的线段?若有,指出该线段;若没有,说明理由．

23．已知直线
的参数方程为
（
为参数），曲线C的极坐标方程是
，以极点为原点，极轴为
轴正方向建立直角坐标系，点
，直线
与曲线C交于A、B两点．

(1)写出直线
的极坐标方程与曲线C的普通方程；

(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求
的值．

24．设函数

(1)求不等式
的解集；

(2)若不等式
（
，
，
）恒成立，求实数
的范围．

高三第二次精英对抗赛参考答案

一、1—6；B A C D A D；7—12； C A B D B C。

二、13.36 14. 150 15.
16. ①④

17.解：（Ⅰ）
，且角
为钝角，
.

在
中，由余弦定理得，
，

，
，

解得
或
（舍），

小岛
与小岛
之间的距离为
.……………2分

，
，
，
四点共圆，
角
与角
互补.

，
.

在
中，由余弦定理得，
，

，
，

解得
（舍）或
.………4分

，

四个小岛所形成的四边形的面积为
平方
.…6分

（Ⅱ）在
中，由正弦定理，
，即
，解得
.

，
为锐角，
.…8分

又
，

.…………………………10分

…12分

19.解析：（1）由列联表可得

．（3分）

所以没有60%的把握认为 “微信控”与“性别”有关． （4分）

（2）依题意可知，所抽取的5位女性中,

“微信控”有3人，“非微信控”有2人．（6分）

（3）
的所有可能取值为1,2,3．（7分）

;
;

． （10分）

所以
的分布列是



















所以X的期望值是
．（12分

20.解：（Ⅰ）设直线
：
且

所以离心率
. ............3分

（Ⅱ）椭圆
方程为
，设

①当直线
斜率为0时，其方程为
，

此时
，
，不满足
，不符合题意，舍去............4分

②当直线
斜率不为0时设直线
方程为
，

由题：
消
得
，............5分

所以
............7分

因为
，所以
，

因为点
在椭圆上，

所以

所以
............9分