2016届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试

数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知复数

（是虚数单位），
，则
（ B ）

A.
B.
C.
D.

2. 设a=(,cos θ)与b=(-1,2cos θ)垂直,则cos 2θ的值等于(C)

A.-
B.0 C.- D.-1

3. 已知命题
：函数
在R为增函数，
：函数
在R为减函数，则在命题
：
；　　
：
；　　
：
　和　
：
　中，真命题是（　C　）

A．
，
B．
，
C．
，
（D）
，

4.已知函数
是定义在R上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数
满足
, 则
的最小值是（ C ）

A．
B．1 C．
D．2

5. 如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 （ A ）

A.
?

B.
?

C.
?

D.
?

6．下列说法错误的是（ B ）

A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；

B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强；

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

D．在回归分析中，
为0.98的模型比
为0.80的模型拟合的效果好.

7. g(x)=f(x)-1在[-2π,0]上零点的个数为(B)

A.0 B.1 C.2 D.3

若x,y满足约束条件
且目标函数
仅在点（1,0）处取得最小值，则
的取值范围是（ B ）

8. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( D ).

A.
B.
C.
D.

9. 已知在各项为正的等比数列{an}中,a2与a8的等比中项为8,则4a3+a7取最小值时首项a1等于(C)

A.8 B.4 C.2 D.1

10.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（A）

A．
B．
C．
D．

11. 已知双曲线
满足彖件：（1）焦点为
；（2）离心率为
，求得双曲线
的方程为
. 若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线
的方程仍为
，则下列四个条件中，符合添加的条件共有 （ B ）

①双曲线
上的任意点
都满足
；

②双曲线
的虚轴长为4；

③双曲线
的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；

④双曲线
的渐近线方程为
.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12. 设函数f(x)=ex(x3- 3x+3) -aex一x（x≥-2），若不等式
≤0有解．则实数a的最小值为(C)

A．
—1 B．2一
C．1 -
D．1+2e2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 设函数f（x）=
，则方程f（x）= 的解集为 {﹣1，
} .

14. 已知函数
=2sin(π+x)sin(x+
）的图象关于原点对称，其中
，则函数.则
.

15. 在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且
时，则x-y= .-2

16. 已知函数
的定义域为R，当
时，
，且对任意的实数
，

，等式
恒成立.若数列{
}满足
，且
=

，则
的值为 .4021

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列

（Ⅰ）求∠B；

（Ⅱ）若
，
，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，

∴2bcosB=ccosA+acosC

由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB

代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．

又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB．

而sinB≠0，所以cosB=
，及0＜B＜π，得B=
．

（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=
=，

∴
=，

又a+c=
，b=
，

∴
﹣2ac﹣3=ac，即ac=，

∴S△ABC=acsinB=××
=
．

18.(本小题满分12分)

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值．

解：（Ⅰ）
平面ADC⊥平面ABC，且
,

即
又

平面
平面

（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系
设平面
和平面
的法向量分别是

由
解得

二面角
的余弦值为
.

19.（本小题满分12分）

某生物产品，每一生产周期成本为10万元，此产品的产量受气候影响、价格受市场影响均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

产量（吨）

30

50



概率

0.5

0.5





市场价格（万元/吨）

0.6

1



概率

0.4

0.6





（Ⅰ）设X表示1生产周期此产品的利润，求X的分布列；

（Ⅱ）若连续3生产周期，求这3生产周期中至少有2生产周期的利润不少于20元的概率．

解：（Ⅰ）设A表示事件“产品产量为30吨”，B表示事件“作物市场价格为0.6万元/吨”，

则P（A）=0.5，P（B）=0.4，

∵利润=产量×市场价格﹣成本，

∴X的所有值为：

500×10﹣1000=4000，500×6﹣1000=2000，

300×10﹣1000=2000，300×6﹣1000=800，

则P（X=4000）=P（）P（）=（1﹣0.5）×（1﹣0.4）=0.3，

P（X=2000）=P（）P（B）+P（A）P（）=（1﹣0.5）×0.4+0.5（1﹣0.4）=0.5，

P（X=800）=P（A）P（B）=0.5×0.4=0.2，

则X的分布列为：

X 40 20 8

P 0.3 0.5 0.2

（Ⅱ）设Ci表示事件“第i生产周期利润不少于20万元”（i=1，2，3），

则C1，C2，C3相互独立，

由（Ⅰ）知，P（Ci）=P（X=40）+P（X=20）=0.3+0.5=0.8（i=1，2，3），

3生产周期的利润均不少于20的概率为P（C1C2C3）=P（C1）P（C2）P（C3）=0.83=0.512，

3生产周期的利润有2生产周期不少于20的概率为P（
C2C3）+P（C1
C3）+P（C1C2
）=3×0.82×0.2=0.384，

（本小题满分12分）

20.如图，已知圆

是椭圆
的内接△
的内切圆, 其中
为椭圆的左顶点.

（Ⅰ）求圆
的半径
;

（Ⅱ）过点
作圆
的两条切线交椭圆于
两点，证明：直线
与圆
相切．

解: （Ⅰ）设

，过圆心
作
于
,
交长轴于

由
得
,

即
(1) ……………2分

而

在椭圆上,
(2)

由(1)、 (2)式得
,解得
或
（舍去） ……………4分

(Ⅱ) 设过
与圆
相切的

直线方程为:
(3)

则
,即
(4)

解得
……………6分

将(3)代入
得
,则异于零的解为

设
,
，则

则直线
的斜率为：
……………9分

于是直线
的方程为:

即

则圆心
到直线
的距离
……………12分

故结论成立.

21．（本小题满分12分）已知函数f (x)＝xlnx＋ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f (x)在区间[
,＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若对任意x∈(1,＋∞)，f (x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值.

解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0， ………