2016届河南省开封市高三上学期第一次模拟考试

数学（文）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第（22）-（23）题为选考题，其他题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1、答题前，考生务必先将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4、保持卷面清洁，不折叠，不破损。

5、做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：

样本数据
的标准差 锥体体积公式

其中
为样本平均数 其中
为底面面积，
为高

柱体体积公式 球的表面积，体积公式

其中
为底面面积，
为高 其中R为球的半径

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={n|n=3k-1,k∈Z}，B={x| |x-1|＞3}，则A∩(
B)= （ A ）

A. {-1，2} B.{-2，-1, 1, 2, 4} C.{1, 4} D. Φ

2. 已知复数

（是虚数单位），
，则
（ B ）

A.
B.
C.
D.

3. 已知命题
：函数
在R为增函数，
：函数
在R为减函数，则在命题
：
；　　
：
；　　
：
　和　
：
　中，真命题是（　C　）

A．
，
B．
，
C．
，
（D）
，

4. 已知函数
是定义在R上的偶函数, 且在区间
单调递增. 若实数
满足
, 则
的最小值是（ C ）

A．
B．1 C．
D．2

5. 如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 （ A ）

A.
?

B.
?

C.
?

D.
?

6．下列说法错误的是（ B ）

A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；

B．在线性回归分析中，相关系数r的值越大，变量间的相关性越强；

C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；

D．在回归分析中，
为0.98的模型比
为0.80的模型拟合的效果好.

7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有1、2、3、4这四个数字，若连续两次抛掷这个玩具，则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( D )

A．  B.  C.
D．

8. 函数


的图像如右图所示，为了得到这个函数的图像，只需将

的图像上的所有的点 （ C ）

A. 向左平移
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变;

B. 向左平移
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变;

C. 向左平移
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变;

D. 向左平移
个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的
倍，纵坐标不变.

9. 在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为 (　A　)

A．  B.  C.  D．1

10. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（A）

A．
B．
C．
D．

11. 已知双曲线
满足彖件：（1）焦点为
；（2）离心率为
，求得双曲线
的方程为
. 若去掉条件（2），另加一个条件求得双曲线
的方程仍为
，则下列四个条件中，符合添加的条件共有 （ B ）

①双曲线
上的任意点
都满足
；

②双曲线
的虚轴长为4；

③双曲线
的一个顶点与抛物线y2=6x的焦点重合；

④双曲线
的渐近线方程为
.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．已知函数
的定义域为R，当
时，
，且对任意的实数
，

，等式
恒成立.若数列{
}满足
，且
=

，则
的值为( ).

A．4021 B．3021 C．2241 D．2201

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答，第（22）题~第（24）题为选考题，考试根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.正项等比数列
中，
，
，则数列
的前
项和等于　　　．1022

14. 设函数f（x）=
，则方程f（x）= 的解集为 {﹣1，
} .

15. 已知圆 x2+y2+2x-4y+1=0，关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是 （-∞，
].

16. 若偶函数
，满足
，且
时，
，则方程
在［－10,10］内的根的个数为 . 10

解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列

（Ⅰ）求∠B；

（Ⅱ）若
，
，求△ABC的面积．

解：（Ⅰ）∵ccosA，BcosB，acosC成等差数列，

∴2bcosB=ccosA+acosC

由正弦定理知：a=2RsinA，c=2RsinC，b=2RsinB

代入上式得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，即2sinBcosB=sin（A+C）．

又A+C=π﹣B，所以有2sinBcosB=sin（π﹣B），即2sinBcosB=sinB．

而sinB≠0，所以cosB=
，及0＜B＜π，得B=
．

（Ⅱ）由余弦定理得：cosB=
=，

∴
=，

又a+c=
，b=
，

∴
﹣2ac﹣3=ac，即ac=，

∴S△ABC=acsinB=××
=
．

18. (本小题满分12分)

如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=AB=2，点E为AC中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

（Ⅰ）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；

（Ⅱ）求三棱锥C-ABC的高.

解：（Ⅰ）取CD的中点F，连结EF，BF，

在△ACD中，∵E，F分别为AC，DC的中点，

∴EF为△ACD的中位线

∴AD∥EF， ……………2分

EF?平面EFB，AD?平面EFB

∴AD∥平面EFB． ……………4分

（Ⅱ）设点C到平面ABD的距离为h，

∵平面ADC⊥平面ABC，且BC⊥AC，

∴BC⊥平面ADC，

∴BC⊥AD，而AD⊥DC,

∴AD⊥平面BCD，即AD⊥BD. ……………8分

∴
,

∴三棱锥B﹣ACD的高BC=2
，S△ACD=2，

∴
=

∴可解得：h=2． ……………12分

19.(本小题满分12分)

甲、乙两人参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，画出茎叶图如图所示，乙的成绩中有一个数个位数字模糊，在茎叶图中用c表示.（把频率当作概率）

（Ⅰ）假设c=5，现要从甲，乙两人中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度，你认为派哪位学生参加比较合适？

（Ⅱ）假设数字c的取值是随机的，求乙的平均分高于甲的平均分的概率．

解：（Ⅰ）若c=5，则派甲参加比较合适，理由如下：
，
……3分

，

， ……6分∵
，∴两人的平均成绩相等，但甲的成绩比较稳定，派甲参加比较合适. ……8分

（Ⅱ）若
乙>
甲，则
（75+80×4+90×3+3+5+2+c）>85∴ c>5 ∴c=6, 7, 8, 9

c的所有可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为
……12分

20.（本小题满分12分）如图，已知圆

是椭圆
的内接△
的内切圆, 其中
为椭圆的左顶点.

（Ⅰ）求圆
的半径
;

（Ⅱ）过点
作圆
的两条切线交椭圆于
两点，证明：直线
与圆
相切．

解: （Ⅰ）设

，过圆心
作
于
,
交长轴于

由
得
,

即
(1) ……………2分

而

在椭圆上,
(2)

由(1)、 (2)式得
,解得
或
（舍去） ……………4分

(Ⅱ) 设过
与圆
相切的

直线方程为:
(3)

则
,即
(4)

解得
……………6分

将(3)代入
得
,则异于零的解为

设
,
，则

则直线
的斜率为：
……………9分

于是直线
的方程为:

即

则圆心
到直线
的距离
……………12分

故结论成立.

21．（本小题满分12分）已知函数f (x)＝xlnx＋ax(a∈R)(Ⅰ)若函数f (x)在区间[
,＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(Ⅱ)若对任意x∈(1,＋∞)，f (x)＞k(x－1)＋ax－x恒成立，求正整数k的值.

解：（Ⅰ）由f（x）=xlnx+ax，得：f′（x）=lnx+a+1∵函数f（x）在区间[e2，+∞）上为增函数，∴当x∈[e2，+∞）时f′（x）≥0， ……………2分即lnx+a+1≥0在区间[e2，+∞）上恒成立，∴a≥-1-lnx．又当x∈[e2，+∞）时，lnx∈[2，+∞），∴-1-