2015-2016学年上期高三一练前第二次强化训练

（理科）数学试题

满分:150分 考试时间:120分钟

一、选择题（本大题共有
个小题，每小题
分，共
分，在每小题给出的四选项中只有一项是符合题目要求的。）

.全集
，集合
,

,则

.

.

.

.

2、
是虚数单位，若

，则
的值是

A、
B、
C、
D、

3、已知等比数列
中，各项都是正数，且
成等差数列，则

A、
B、
C、
D、

4、下列命题中正确命题的个数是

（1）
是
的充分必要条件

（2）
则
最小正周期是

（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变

（4）设随机变量
服从正态分布
,若
，则

A.4 B.3 C.2 D.1

5.已知菱形
边长为2，
，点P满足
，
．若
，则
的值为

A、
B、
C、
D、
,

6．如图所示的程序的功能是

7．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是

A．①④②③ B．①④③②　 C．④①②③　 D．③④②①

8.设抛物线
的焦点为
，点
在
上，
，若以
为直径的圆过点
，则
的方程为

A、

B、

C、
D、

9. 变量
满足条件
，则
的最小值为

A.
B.
C.
D.

10.已知非零向量
、
满足
，则
与
的夹角为（ ）

11、设双曲线
的两条渐近线与直线
分别交于A,B两点，F为该双曲线的右焦点．若
，则该双曲线的离心率的取值范围是

A．
B．
C．
D．

12、设函数

，若不等式
≤0有解．则实数
的最小值为

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共四小题，每小题5分，共20分）

13. 若
，，则sin2x=?? ．

14. 13.在
的展开式中，所有项的系数和为
，则
的系数等于

15.已知函数
在区间[1,e]上取得最小值4，则m=

16.已知抛物线y=4x2 的准线与双曲线
（a＞0 ，b＞0）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若
FAB为直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 。

三、解答题（本大题共六小题共70分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知向量
,实数
为大于零的常数，函数
，且函数
的最大值为
.

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）在
中，
分别为内角
所对的边，若
,且
,求
的最小值.

18.（本小题满分11分）．已知数列
满足
，且
（n
2且n∈N）

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
的前n项之和
，求
,并证明：
．

19.(本小题满分12分)

某市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小组对2014年1月—2014年12月（一年）内空气质量指数
进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：

指数API

[0,50]

(50,100]

(100,150]

(150,200]

(200,250]

(250,300]

>300



空气质量

优

良

轻微污染

轻度污染

中度污染

中重度污染

重度污染



数

4

13

18

30

9

11

15



（1）若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失
（单位：元）与空气质量指数
（记为
）的关系为：
，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失
元的概率；

（2）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成
列联表，并判断是否有
的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关？

非重度污染

重度污染

合计



供暖季









非供暖季节









合计





100



下面临界值表供参考.

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001





2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828



参考公式：
，其中
.

（本小题满分12分）

椭圆
，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为
，直线OM的斜率为
，
.

求椭圆C的离心率；

设直线l与x轴交于点
，且满足
，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.

21.（本题满分12分）

已知
.

（Ⅰ）对一切
恒成立，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）当
时，求函数
在区间
上的最值；

（Ⅲ）证明：对一切
，都有
成立.

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，在△ABC中，DC⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE交DC于点F，若BF=FC=3，DF=FE=2.

求证：
；

求线段BC的长度.

23、（本小题满分10分）选修
：坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线
的方程为
，点
，以极点为原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．

（Ⅰ）求曲线
的直角坐标方程及点
的直角坐标；

（Ⅱ）设
为曲线
上一动点，以
为对角线的矩形
的一边垂直于极轴，求矩形
周长的最小值及此时点
的直角坐标．

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设实数
满足
。

(1)若
，求
的取值范围；

(2)求
的最小值．

参考答案

一、选择题1—5；ACDCA；6—10；CACDD；11-12；BA

二、填空题：13.
；14. -270；15. -3e；16.

三、解答题：17.解：（Ⅰ）由已知

5分

因为
，所以
的最大值为
，则
6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，所以

解得
，所以

则
，所以
10分

则

所以
的最小值为
12分

18.解：（Ⅰ）
． （Ⅱ）略

19.解析：（1）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失P∈（200，600]元”为事件A

由200＜4t﹣400≤600，得150＜t≤250，频数为39，∴P（A）=

（2）根据以上数据得到如表：

非重度污染

重度污染

合计



供暖季

22

8

30



非供暖季

63

7

70



合计

85

15

100



K2的观测值k=
≈4.575＞3.841

所以有95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关．

）设
，
，代入椭圆C的方程有：

， 两式相减：
，

即
，

联立两个方程有
， 解得：
. ...............5分

由（1）知
，得
，

可设椭圆C的方程为：
，

设直线l的方程为：
，代入椭圆C的方程有

， .............................6分

因为直线l与椭圆C相交，所以
，

由韦达定理：
，
.

又
，所以
，

代入上述两式有：
， ...................8分