2015-2016学年上期高三第二次精英对抗赛

（文科）数学试题

试卷满分：150分 考试时间：120分

一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分)

1. 复数
（i为虚数单位）的共轭复数为

A．
B．
C．
D．

2．集合A={x|
}，集合B是函数y=lg（2﹣x）的定义域，则A∩B=

A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，+∞）

3．平行四边形ABCD中，
,
，则
等于

　 A． -4 B． 4 C． 2 D． ﹣2

4．已知倾斜角为
的直线
与直线
垂直，则
的值为

A.
B.
C.
D.

5．设
为等比数列{
}的前n项和，记命题甲：4a2－a4＝0，命题乙：S4＝5S2，则命题甲成立是命题乙成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为

A. B. C. D.

7.函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜
）的图象如图所示，为了得到y=sinωx

的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )个单位长度．

A．向右平移
B．向右平移
C．向左平移
D．向左平移

8．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的

“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14，18，

则输出的a＝

A．0 B．2 C．4 D．14

9．已知
、
取值如下表：

0

1

4

5

6

8





1.3

1.8

5.6

6.1

7.4

9.3



从所得的散点图分析可知：
与
线性相关，且
，则

A.
B.
C.
D.

10．在
中，
，
的平分线
交边
于
，已知
，且
，

则
的长为

A.
B.
C.
D.

11. 两个圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)恰有三条公切线，

则a＋b的最小值为

A．－6　 B．－3 C．－3　　 D．3

12. 已知函数y＝
过定点A（m，n），若不等式
＜k（x－m）＋n＋｜x－
｜恒成立，

则实数k的取值范围是

A．[
，
) B．（
，
） C．（－∞，
） D．（
，＋∞）

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)

13．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，7)，则 a＝________．

14．已知实数
满足：
，
，则
的取值范围是________．

15．已知两点A(－1,0)，B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值________． ＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是 (　　

16．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，5]，部分对应值如表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．

下列四个命题：

x

﹣1

0

4

5



f（x）

﹣1

﹣2

﹣2

﹣1





①函数f（x）的极大值点为2； ②函数f（x）在[2，4]上是减函数；

③如果当
时，f（x）的最小值是﹣2，那么
的最大值为4；

④函数y=f（x）﹣a（a∈R）的零点个数可能为0、1、2、3、4个．

其中正确命题的序号是 ．

三、解答题:（本大题共6小题，共70分．）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知
·
＝-2，cosB＝，b＝3.

求：(Ⅰ)a和c的值；

(Ⅱ)cos(B－C)的值．

18.（本小题满分12分）

已知等差数列
满足：
，
，
的前n项和为
．

(Ⅰ) 求
及
； (Ⅱ) 求数列
的前
项和

19．（本小题满分12分）

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

质量指标

值分组

[75，85)

[85，95)

[95，105)

[105，115)

[115，125)



频数

6

26

38

22

8



(Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；

(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

(Ⅲ)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的

产品至少要占全部产品80%”的规定？

20．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线
与坐标轴的交点都在圆C上

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）若圆C与直线
交与A，B两点，且
，求a的值.

21.（本小题12分）

设函数
＝
－ax．

（Ⅰ）若a＝0，求
的单调增区间；

（Ⅱ）当b＝1时，若存在
，
∈[e，
]，使
≤
＋a成立，求实数a的最小值．

（其中e为自然对数的底数）

请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图所示,
为圆
的切线,
为切点,

，

的角平分线与
和圆
分别交于点
和
.

（I） 求证
; （II） 求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为
为参数）．以O为极点，

x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）直线
的极坐标方程是
，射线
（
≥0）与圆C的交点为O、P，

与直线
的交点为Q，求线段PQ的长．

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

已知函数

（I）当a=0时，解不等式
；

（II）若存在x∈R，使得，f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．

2015-2016高三第二次精英对抗赛

文科数学参考答案

1—5 BABBA 6—10 AABBC 11—12 CD 13. 1 14.
15.
16.①②③④

17.解　(1)由·＝2，得c·acosB＝2. 又cosB＝，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13. 解得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.

因为a>c，所以a＝3，c＝2.

(2)在△ABC中，sinB＝＝ ＝，由正弦定理，得sinC＝sinB＝×＝.

因为a＝b>c，所以C为锐角．因此cosC＝＝＝.

于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝×＋×＝.

18.解：(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，因为
，
，所以有
，解得
，
，所以
；
．

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，
，所以
，所以

．

19. 解：(1)频率分布直方图如下：

(2)质量指标值的样本平均数为

x＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.

质量指标值的样本方差为s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×

0.22＋202×0. 08＝104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方

差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.8＝0.68.

由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值

不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．

20. （Ⅰ）曲线
与坐标轴的交点为（0,1）（3

故可设圆的圆心坐标为（3，t）则有
+
解得t=1, 则圆的半径为

所以圆的方程为

（Ⅱ）设A(
B(
其坐标满足方程组

2

消去y得到方程

由已知可得判别式△=56-16a-4
>0 由韦达定理可得
，
①

由
可得
又

。

所以2
②

由①②可得a=-1,满足△>0，故a=-1。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

（1）∵
为圆
的切线,
又
为公共角,

. ……………………4分

（2）∵
为圆
的切线,
是过点
的割线,

又∵

又由（1）知
, 连接
,则

，则
， ∴
. ------10分

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

24．(本小题满分l0分)选修4—5：不等式选讲

故错误！未找到引用源。，从而所求实数错误！未找到引用源。的范围为错误！未找到引用源。 --------10分