邯郸市一中高三一轮收官考试（二）

数学（理）试题及解析

一、选择题

1．已知
，则复数z=（ ）

A．1+i B．1-i C．-1+i D．-1-i

【答案】A

【解析】试题分析：可得
，所以选A．

【考点】复数运算．

2．已知全集
，集合
，则下图阴影部分表示的集合是（ ）

A．[-1，1） B．（-3，1] C．
D．（-3，-1）

【答案】D

【解析】试题分析：
，
显然阴影部分表示的集合为
，故选D．

【考点】韦恩图表示集合．

3．在单调递减等比数列
中，若
则
（ ）

A．2 B．4 C．
D．

【答案】B

【解析】试题分析：根据等比数列的性质并由
得
，解得
或
．因数列单调递减，所以
，则等比数列的公比为
，故
．选B．

【考点】等比数列的基本量运算．

4．已知函数
，若在[1，8]上任取一个实数
，则不等式
成立的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】试题分析：解对数不等式得，
，由几何概型的概率计算得，不等式
成立的概率是
．故选C．

【考点】几何概型的概率计算．

5．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【解析】试题分析：易知该程序执行的实质是求数列
的前21项的和s，所以用裂项法得，
．故选C．

【考点】程序框图的运用．

6．已知函数
的最小正周期是
，若将其图像向右平移
个单位后得到的图像关于原点对称，则函数
的图像（ ）

A．关于直线
对称

B．关于直线
对称

C．关于点
对称

D．关于点
对称

【答案】B

【解析】试题分析：可知
，所以
，将其图像向右平移
个单位得到的图像的解析式为
．因为其图像关于原点对称，所以该函数为奇函数，则
．又因
，所以当
时，
．此时函数的解析式为
，同时
时函数取得最大值，即直线
是函数的对称轴．选B．

【考点】三角函数的图像平移及对称性．

7．已知在圆
内，过点
的最长弦和最短弦分别是
和
，在四边形ABCD的面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】D

【解析】试题分析：可知圆是以（2，-1）为圆心，
为半径的圆，点E在圆内，显然当弦AC为直径是最长且为
，BD与AC垂直时其长最短
，所以四边形ABCD的面积为
．故选D．

【考点】直线与圆的综合问题．

8．已知某空间几何体的三视图如犹如所示，则该几何体的体积是（ ）

A．16 B．24 C．32 D．48

【答案】D

【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个四棱锥E-ABCD，底面ABCD是一个直角梯形，各边长如图所示，
，
，AB=6，所以由棱锥的体积公式得，
．故选D．

【考点】三视图．

9．已知实数a，b满足
，则函数
的零点所在区间是（ ）

A．（-2，-1） B．（-1，0） C．（0，1） D．（1，2）

【答案】B

【解析】试题分析：可知，
且

，于是函数
为单调递增函数．可得，
，
，所以函数的零点在区间（-1，0）内，故选B．

【考点】零点存在性定理．

10．已知实数x，y满足条件
若目标函数
的最小值为5，其最大值为（ ）

A．10 B．12 C．14 D．15

【答案】A

【解析】试题分析：依题意知，不等式表示的平面区域如图所示的三角型ABC及其内部且A（2，2）、C（2，4-c）．目标函数
可看作是直线
在y轴上的截距，显然当直线过点C时，截距最小及z最小，所以
解得
，此时B（3，1），且直线过点B时截距最大，即z最大，最大值为
．故选A．



【考点】线性规划求最值．

【方法点睛】线性规划求最值和值域问题的步骤：（1）先作出不等式组表示的平面区域；（2）将线性目标函数看作是动直线在y轴上的截距；（3）结合图形看出截距的可能范围即目标函数z的值域；（4）总结结果．另外，常考非线性目标函数的最值和值域问题，仍然是考查几何意义，利用数形结合求解．例如目标函数为
可看作是可行域内的点（x，y）与点（0，0）两点间的距离的平方；
可看作是可行域内的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率等等．

11．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为
，这两条曲线在第一象限的交点为P，
是以
为底边的等腰三角形．若
，椭圆与双曲线的离心率分别为
，则
的取值范围是（ ）

A．（0，+
） B．（
，+
） C．（
，+
） D．（
，+
）

【答案】B

【解析】试题分析：设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，双曲线的实半轴长为
，显然其虚半轴长为c．由椭圆及双曲线的定义得，
及
，则
…①．又因
是以
为底边的等腰三角形，所以
即
…②．由①②得，
，所以
．又因为
，所以
即
，从而求出
．故选B．

【考点】圆锥曲线的性质离心率．

【思路点睛】本题是研究椭圆及双曲线的定义及性质（离心率），综合性强、难度大．对这类题目不应盲目的去硬算，应该结合定义、图像及性质进行分析，得到适当的结论，然后找到求解的方法．例如，本题运用定义并结合图像得到，
、
从而列出关于
的函数
，并求出c的范围，然后求值域即可．

12．若函数
在区间（
）上是增函数，则实数a的取值范围是（ ）

A．（-
，-1] B．[-1，+
） C．（-
，0） D．（0，+
）

【答案】A

【解析】试题分析：函数
在区间（
）上是增函数，则
即
在区间（
）上恒成立．设
，则
．于是原题目等价于函数a小于等于
在
的最小值．易知该函数在定义域内单调递减，所以
，于是
．故选A．

【考点】由单调性求参数范围．

【方法点睛】含参数的函数在区间上具有单调性，求参数范围的解法突破：（1）函数
在给定区间上单调递增，转化为其导函数
在区间上恒成立，进而转化为
在区间上的最小值大于等于0．同理，若函数
在给定区间上单调递减，转化为其导函数
在区间上恒成立，进而转化为
在区间上的最大值小于等于0．

二、填空题

13．已知向量
满足
，且
，则
的夹角为 ．

【答案】

【解析】试题分析：由已知条件及数量积的运算律可得
，从而得
，则
的夹角为
．

【考点】向量夹角．

14．已知
展开式的二项式系数已知为64，则其展开式中常数项是 ．

【答案】60

【解析】试题分析：由条件得，
．由二项式展开式的通项公式得，
．显然
时，展开式为常数项且常数项为
．

【考点】二项式通项．

15．已知在直角梯形ABCD中，
，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC，当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为 ．

【答案】

【解析】试题分析：可知当三棱锥D-ABC的体积取最大值时，即平面ACD
平面ABC，而此时三角形ACD是以AC=C D =1，
的等腰直角三角形，三角形ABC是等腰直角三角形且
．显然，其外接球的球心在AB的中点处，所以半径为1，故其外接球的体积为
．

【考点】多面体与球的外接问题．

【方法点睛】多面体的外接球问题，常常是先找准外接球的球心，然后再去求解．显然球心的位置是难点，应根据几何体的对称性估计出球心的可能位置，然后定性分析并确定其准确位置，然后在计算出半径即可求解．同时注意：①多面体的内切球问题，思路基本一致；②应熟悉常见几何体与球的外接、内切问题．

16．如图所示，已知
中，
，D为边AC上的一点，E为BD上的一点，且
，则DC= ．

【答案】

【解析】试题分析：设CD=x，则
．因为
，所以
，且
．又因
，所以
，解得
．

【考点】解三角形．

【方法点睛】本题是解三角形问题，由于题目提供了角之间的关系，所以经分析得到
，在直角三角形中可以得到两角的正切值分别为
，
，然后利用倍角公式即可得到x的方程，进而求解．

三、解答题

17．已知数列
前n项和为
，满足

（1）证明：
是等比数列，并求
的通项公式；

（2）数列
满足
，
为数列
的前n项和，若
对正实数a都成立，求a的取值范围．

【答案】（1）证明过程详见解析，
；（2）
．

【解析】试题分析：（1）已知条件是数列的项
与和
的关系求通项公式，消和
留项
，从而得到数列的递推公式，
，然后构造法证明
是等比数列，并求数列
通项即可；

由（1）得，

运用裂项法求和得到
，从而求出参数a的范围．

试题解析：（1）由题由题设

两式相减得

即
又
，所以
是以4为首项，2为公比的等比数列

又
所以

因为

所以

依题意得：

【考点】①构造法求数列通项公式；②裂项法求和；?恒成立求参数范围．

18．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从该流水线上随机抽取40件产品，测量这些产品的重量（单位：克），整理后得到如下的频率分布直方图（其中重量的分组区间分别为（490，495]，（495，500]，（500，505]，（505，510]，（510，515]）

（1）若从这40件产品中任取两件，设X为重量超过505克 的产品数量，求随机变量X的分布列；

（2）若将该群体分别近似看作总体分布，现从该流水线上任取5件产品，求恰有两件产品的重量超过505克的概率．

【答案】（1）随机变量X的分布列为

X

0

1

2



P









（2）

【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可求得质量超过505克的产品数量为12，然后根据超几何分布求出对应随机变量的概率，从而求出分布列；（2）由已知得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0．3

，然后按照二项分布的概率计算即可求解．

试题解析：（1）根据频率分布直方图可知，质量超过505克的产品数量为[（0．001+0．005）
5]
40=12

由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2

，
．

∴随机变量X的分布列为

X

0

1

2



P











由题意得该流水线上产品的重量超过505克的概率为0．3

设Y为该流水线上任取5件产品重量超过505克的产品数量，则Y~B（5，0．3）．

故所求概率为

【考点】①超几何分布；②二项分布．

19．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为边长为2的菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（Ⅰ）判定AE与PD是否垂直，并说明理由；

（Ⅱ）若PA=2，求二面角E-AF-C的余弦值．

【答案】（Ⅰ）垂直，证明过程详见解析；（Ⅱ）
．

【解析】试题分析：（Ⅰ） 在菱形ABCD中，可知AE⊥AD．又由PA⊥平面ABCD，得PA⊥ AE． 从而证明AE⊥平面PAD，然后由直线与平面垂直的性质即可证明；（Ⅱ）根据（Ⅰ） 可建立如下图的空间直角坐标系，求出相应点的坐标，然后分别求出平面AEF与平面ACF的法向量，最后依据法向量夹角与平面夹角的关系求出二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）垂直．

证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．因为E为BC的中点，所以AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE
平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA
平面PAD．AD
平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD
平面PAD，所以AE⊥PD．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∴A（0，0，0），B（
，-1，0），C（
，1，0），D （0，2，0），P（0，0，2），E（
，0，0），
，所以
．设平面AEF的一法向量为
，则
，因此