2016届高三第一次联考

数学（理）试卷

命题人：万炳金 审题人：廖涂凡 2015.12

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）

1．已知集合
，则
等于（ ）

A．（2，5） B．
C．{2，3，4} D．{3，4，5}

2．下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的是（ ）

A．y＝ex B．y＝lnx2 C．y＝ D．y＝sinx

3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为（ ）

A．－ B．－ C． D．

4．已知函数f(x)＝则
（ ）

A．2 B．1 C．
D．

5．若命题“?x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个函数
的图像，则“
是偶函数”是“φ＝”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）

A．14 B．15 C．16 D．18

8．已知
是等差数列
的前n项和，且
，给出下列五个命题： ①
；②
；③
；④数列
中的最大项为
；⑤
.其中正确命题的个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．1

9．过双曲线
的左焦点F作圆
的切线，设切点为M，延长FM交双曲线
于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（ ）

A．
B．
C．
+1 D．

10．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且
，
，则球面面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知点C为线段
上一点，
为直线
外一点，PC是
角的平分线，
为PC上一点，满足
，
，
，则
的值为（ ）

A.
B. 3 C. 4 D.

12．已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．等比数列
的各项均为正数，且
，则
＝________.

14．已知函数
满足
，函数
关于点
对称，
，则
_________.

15．设
满足约束条件
，则
的取值范围是__________.

16．对于函数
，若在其定义域内存在
，使得
成立，则称
为函数
的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.

①
； ②
；

③
，
；④
； ⑤
.三、解答题（本大题共8小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分） 在
中，角A、B、C所对的边为a、b、c，已知
，
.

（1）求
的值；

（2）若
，D为
的中点，求CD的长.

18．（本小题满分12分）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为。现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用ξ表示终止时所需要的取球次数．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量ξ的概率分布列及期望．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，
，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．

（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；（2）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求
的值．

20．（本小题满分12分）已知椭圆
（
）的离心率
，过点

的直线
与椭圆
交于
两点，且
.

（1）当直线
的倾斜角为
时，求三角形
的面积；

（2）当三角形
的面积最大时，求椭圆
的方程．

21.（本小题满分12分）已知函数
，
．

（1）（i）求证：
；

（ii）设
，当
，
时，求实数
的取值范围；

（2）当
时，过原点分别作曲线
与
的切线
，
，已知两切线的斜率互为倒数，证明：
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号上方的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知A，B，C，D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，D为切点，AC∥DE，AC与BD相交于H点．

（1）求证：BD平分∠ABC；

（2）若AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的长．

23．（本题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆C的圆心C
，半径r＝3.

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若点Q在圆C上运动，P在OQ的延长线上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求动点P的轨迹方程．

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
，
.

（1）解关于
的不等式
；

（2）若函数
的图像恒在函数
图像的上方，求实数
的取值范围.

江西师大附中、临川一中2016届高三第一次联考

数学（理）试卷

命题人：万炳金 审题人：廖涂凡 2015.12

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意.）

1．已知集合
，则
等于（ ）

A．（2，5） B．
C．{2，3，4} D．{3，4，5}

【答案】C

【命题意图】本题主要考查不等式的解法,集合的运算,属容易题.

【解析】
，
={2，3，4},选C.

2．下列函数中，既是偶函数又在
上单调递增的是（ ）

A．y＝ex B．y＝lnx2 C．y＝ D．y＝sinx

【答案】B

【命题意图】本题主要考查函数性质：单调性、奇偶性等属容易题.

【解析】y＝，y＝ex为(0，＋∞)上的单调递增函数，但是不是偶函数，故排除A，C；　y＝sinx在整个定义域上不具有单调性，排除D；y＝lnx2满足题意，故选B.

3．已知{an}是等差数列，a10＝10，其前10项和S10＝70，则其公差d为（ ）

A．－ B．－ C． D．

【答案】D

【命题意图】本题主要考查等差数列通项及前n项和公式,属容易题.

【解析】　a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋d＝10a1＋45d＝70，解得d＝.故选D.

4．已知函数f(x)＝则
（ ）

A．2 B．1 C．
D．

【答案】C

【命题意图】本题主要考查复合函数求值，属容易题.

【解析】∵∈[0，)，∴f()＝－tan＝－1.∴f(f())＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.

5．若命题“?x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，则实数m的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】A

【命题意图】本题主要考查用特称命题的否定解决问题，属中等题.

【解析】∵命题“?x0∈R，使得x＋mx0＋2m－3<0”为假命题，∴命题“?x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0”为真命题，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.

6．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个函数
的图像，则“
是偶函数”是“φ＝”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【命题立意】本题考查三角函数的图像变换以及充分必要条件，属中等题.

【解析】把函数y＝sin(2x＋φ)的图像向左平移个单位后，得到的图像的解析式是y＝sin(2x＋＋φ)，该函数是偶函数的充要条件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，所以则“f(x)是偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，选B.

7．右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积是（ ）

A．14 B．15 C．16 D．18

【答案】B

【命题立意】本题考查由三视图构造几何体的直观图并求其体积，属中等题.

【解析】三棱柱体积—三棱锥体积.

8．已知
是等差数列
的前n项和，且
，给出下列五个命题： ①
；②
；③
；④数列
中的最大项为
；⑤
.其中正确命题的个数是（ ）

A．5 B．4 C．3 D．1

【答案】C

【命题立意】本题主要考查等差数列相关知识及前n项和增减性等，推理等相关知识，属中等题.

【解析】

，①②⑤正确

9．过双曲线
的左焦点F作圆
的切线，设切点为M，延长FM交双曲线
于点N，若点M为线段FN的中点，则双曲线C1的离心率为（ ）

A．
B．
C．
+1 D．

【答案】A

【命题立意】本题考查圆锥曲线离心率，属中等题.

【解析】
则
.

10．已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且
，
，则球面面积为（ ）

A．
B．
C．
D．

【答案】C

【命题立意】本题考查立体几何中的球的切接和球的表面积问题，属中等偏难题.

【解析】
外接圆的半径
，
.

11．已知点C为线段
上一点，
为直线
外一点，PC是
角的平分线，
为PC上一点，满足
，
，
，则
的值为（ ）

A.
B. 3 C. 4 D.

【答案】B

【命题立意】本题主要考查向量运算，数量积及其几何意义、圆的切线长等，属难题.

【解析】
，PC是
角的平分线，

又
，即
，

所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA,PB于E、F，

，
，
，

在直角三角形BIH中，
，所以
.

12．已知函数
，则函数
的零点个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【命题立意】本题考查分段及复合函数零点问题，属难题.

【解析】利用数形结合知
仅在
内有一零点.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．等比数列
的各项均为正数，且
，则
＝________.

【答案】50

【命题立意】本题考查等比数列性质问题，属中等题.

【解析】　因为{an}为等比数列，所以由已知可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e5.

于是lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2a3…a20)．

而a1a2a3…a20＝(a1a20)10＝(e5)10＝e50，因此lna1＋lna2＋…＋lna20＝lne50＝50.

14．已知函数
满足
，函数
关于点
对称，
，则
_________.

【答案】2

【命题立意】本题考查函数周期、图像平移、对称、奇偶性等性质问题，属中等题.

【解析】由于
，
，

故函数的周期为12，把函数
的图象向右平移1个单位，得
，因此
的图象关于
对称，为奇函数，
.

15．设
满足约束条件
，则
的取值范围是__________.

【答案】

【命题立意】本题考查线型规划、斜率等问题，属中等题.

【解析】
，可行域内点与点（-1，-1）斜率的2倍加1.

16．对于函数
，若在其定义域内存在
，使得
成立，则称
为函数
的“反比点”.下列函数中具有“反比点”的是_________.

①
； ②
；

③
，
；④
； ⑤
.

【答案】①②④

【命题立意】本题考查方程、函数零点、导数求最值，属中等偏难题.

【解析】①由x
=1得：
，所以①具有“反比点”. ②设
，∵h(0)=-1<0,
,

∴
在
上有解，所以②具有“反比点”.

③由

，所以③不具有“反比点”；

④若
令
④具有“反比点”

⑤若
在
上 有