2015-2016学年度第一学期第二次阶段性反馈

高三数学

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1、若(1?i)2+a为純虚数，则实数a的值为 ．

2、为了抗震救灾，现要在学生人数比例为
的
、
、
三所高校中，用分层抽样方法抽取
名志愿者，若在
高校恰好抽出了6名志愿者，那么
.

3、如图是一个算法的伪代码，则输出i的值为

4、从
这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 .

5、已知集合
，集合
，则
.

6、
中，若
，
，则
．

7、若函数f(x)=mx2+lnx?2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围是

8、已知
分别是椭圆
的上、下顶点和右焦点，直线
与椭圆的右准线交于点
，若直线
∥
轴，则该椭圆的离心率
= .

9、已知函数
为奇函数，则
的减区间为 ．

10、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB=1，BC=2，AC=，AA1=3，M为线段BB1

上的一动点， 则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为

11、如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点．以A为圆心，AE为半径，

作弧交AD于点F．若P为劣弧
上的动点，则
的最小值为 ．

12、已知函数
若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不

同的交点，则实数m的取值范围为 ．

13、在平面直角坐标系xOy中，过点P（?5，a）作圆x2+y2?2ax+2y?1?0的两条切线，

切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且
，则实数a的值为 ．

14、设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=2014，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为 ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分）

15、已知向量m＝，n＝.

(1)若m·n＝1，求cos的值；

(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a， b，c，且满足

(2a－c)cos B＝bcos C，求函数f(A)的取值范围．

16、如图，在多面体中，四边形
是菱形，
相交于点
，
，
，平面

平面
，
，点
为
的中点．

（1）求证：直线
平面
；

（2）求证：直线

平面
．

17、强度分别为
的两个光源
间的距离为
．已知照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比，比例系数为
．线段
上有一点
，设
，
点处总照度为
．试就
时回答下列问题．（注：
点处的总照度为
受
光源的照度之和）

（1）试将
表示成关于
的函数，并写出其定义域；

（2）问：
为何值时，
点处的总照度最小？

18、如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，
分别是椭圆
的左、右两个顶点，圆
的半径为
，过点
作圆
的切线，切点为
，在
轴的上方交椭圆
于点
．

⑴求直线
的方程； ⑵求
的值；

⑶设
为常数．过点
作两条互相垂直的直线，分别交椭圆
于点
，分别交圆
于点
，记
和
的面积分别为
，
，求
的最大值．

19、已知数列
的前
项和为
，且对一切正整数
都有
.

（1）求证：
（
）；

（2）求数列
的通项公式；

（3）是否存在实数
，使不等式
对一切正整数
都成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由。

20、已知函数
.

（1）求函数
的图象在
处的切线方程；

（2）若函数
在
上有两个不同的零点，求实数
的取值范围；

（3）是否存在实数
，使得对任意的
，都有函数
的图象在
的图象的下方？若存在，请求出最大整数
的值；若不存在，请说理由.

（参考数据：
，
）.

2015-2016学年度第一学期第二次阶段性反馈

试卷Ⅱ(附加题)

1.已知矩阵
的一个特征值是3，求直线
在
作用下的直线方程.

2. 已知曲线C1的参数方程为
（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．

3．已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动 .

求选出的4名选手中恰好有1名女生的选派方法数；

记X为选出的4名选手的人数，求X的概率分布和数学期望.

4.已知
展开式的各项依次记为
设函数

若
的系数依次成等差数列，求正整数
的值；

求证：
恒有

19.解：（1）证明：∵
（
）①

∴
（
）②

由②①得

（
），

∴
（
）. ……4分

（2）解：方法1，∵
（
）……③

∴
（
）， ……④

④—③，得
（
） …6分

从而 数列
的奇数项依次成等差数列，且首项为
，公差为4；

数列
的偶数项也依次成等差数列，且首项为
，公差为4.

在①中令
得
，又∵
，∴

在③中令
得
，∴
………7分

∴当
（
）时，
，
；8分

∴当
（
）时，
，
；…9分

综上所述，
（
）. ……10分

方法2，由③式知，
（
）， ……7分

记
（
），则
（
），

在①中令
得
，又∵
，∴

从而
，∴
（
） 即
（
）. ……10分

（3）解：令
（
），则

且


………12分

（或

…12分）

∴
，∴
单调递减，∴
. …13分

∴不等式
对一切正整数n都成立等价于
对一切正整数n都成立等价于
，即
14分

∴
，即
，解之得

综上所述，存在实数
适合题意，
的取值范围是
………16分

20. 解：（1）因为
，所以
，则所求切线的斜率为
，……2分

又
，故所求切线的方程为
................4分

（2）因为
，则由题意知方程
在
上有两个不同的根.

由
，得
，……6分

令
，则
，由
，解得
.

当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，

所以当
时，
取得最小值为
.……8分

又
，
（图象如右图所示），

所以
，解得
. …10分

（3）假设存在实数
满足题意，则不等式
对
恒成立.

即
对
恒成立.

令
，则
， ……12分

令
，则
，

因为
在
上单调递增，
，
，且
的图象在
上不间断，所以存在
，使得
，即
，则
，

所以当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，

则
取到最小值

，14分

所以
，即
在区间
内单调递增.

所以
，

所以存在实数
满足题意，且最大整数
的值为
.……16分

数 学Ⅱ
(附加题)

1.【解析】∵矩阵
的一个特征值是3，设

则
解得
∴
.

设直线
上任一点
在
作用下对应的点为
则有

整理得
，则
，代入
，整理得

.∴所求直线方程为
.

2. 解：将
消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，

所以C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．

由ρcos（θ+
）=2
，即为
（ρcosθ﹣ρsinθ）=2
，

则曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．

由
，解得
或
，

所以C1与C2交点的极坐标分别为（4，0）或（2
，
）．

3．（（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为
种．3分

（2）
的可能取值为
． …………5分

，
，

，

． …………8分

的概率分布为：
























． ………10分

4.（1）由题意知

∵
的系数依次为

∴
解得

（2）

=

令

令

设

则
考虑到
将以上两式相加得

∴

又当
时，
恒成立，从而
是
上的单调增函数，

∴

通达教学资源网 http://www.nyq.cn/