上饶中学2015－2016学年高三上学期期中考试

数 学 试 卷（理：零、培优、实验、理补班）

考试时间：120分钟 分值：150分

考察内容：集合与简易逻辑、函数与导数、数列、向量、三角、不等式

一、选择题（每题5分，共60分）

1.已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（　　）

A． A∩B=? B． B?A C． A∩B={0，1} D． A?B

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4+a25=5，则一定有( )

A．a6是常数 B．S7是常数 C．a13是常数 D．S13是常数

3.若
，
，则下列不等式正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

4.记
,那么
( )

A.
B.-
C.
D.-

5.已知点A（﹣1，0），B（1，0），过定点M（0，2）的直线l上存在点P，使得
，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )

A．
B．

C．
D．

6.设
，且
，则下列结论中正确的是（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是( )

A．
B．
C．
D．

8.已知函数
的定义域是
，且满足
，
如果对于
，都有
，不等式
的解集为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.已知x，y满足
，则使目标函数z=y﹣x取得最小值﹣4的最优解为（　　）

　 A． （2，﹣2） B． （﹣4，0） C． （4，0） D． （7，3）

10.函数
的图象大致为（ ）

11.已知点G是△ABC的重心，
（ λ，μ∈R），若∠A=120°，
，则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

12.设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）

二、填空题（每题5分，共20分）

13.已知x，y∈（0，+∞），
，则
的最小值为　　．

14.已知数列{an}中
是数列{an}的前n项和，则S2015= 。

15.如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线
与直线
及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积
据此类比：将曲线
与直线y=2及y轴所围成的图形绕y轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V=________.

16.已知函数
,给出下列结论:

①函数
的值域为
; ②函数
在[0,1]上是增函数;

③对任意
,方程
在[0,1]内恒有解;

④若存在
使得
,则实数
的取值范围是
.

其中正确命题是 (填上你认为正确的所有命题的序号)

三、解答题（17题10分，其它每题12分）

17.在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0．

（1）求∠B；

（2）设函数f（x）=﹣2cos（2x+B），将f（x）的图象向左平移
后得到函数

g（x）的图象，求函数g（x）的单调递增区间．

18.若m∈R，命题p：设x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根，不等式|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈(0,2]恒成立，命题q：函数f（x）=x3+mx2+（m+
）x+3在

（﹣∞，+∞）上有极值，求使p且￢q为真命题，求实数m的取值范围．

19.已知数列{an}是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16, b3S3=72．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；

（Ⅱ）令
求数列{Cn}的前2n+1项和T2k+1

20．定义在R上的函数
及二次函数
满足：

且
.

(1）求
和
的解析式；

(2）
.

21.设正项数列
的前
项和
，且满足
.

（Ⅰ）计算
的值，猜想
的通项公式，并证明你的结论；

（Ⅱ）设
是数列
的前
项和，证明：
.

22.已知函数
在点
处的切线与x轴平行。

（1）求实数a的值及
的极值；

（2）是否存在区间
，使函数
在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；

（3）如果对任意的
，有
，求实数k的取值范围。

上饶中学2015－2016学年高三上学期期中考试

数学参考答案（理：零、培优、实验、理补班）

一、选择题

CDDBA CABCD CD

二、填空题：

13.3 14.5239 15.
16.（1）（2）（4）

解答题

17. 解：（1）由（2a﹣c）cosB﹣bcosC=0及正弦定理得，

（2sinA﹣sinC）cosB﹣sinBcosC=0，

即2sinAcosB﹣sin（B+C）=0，

因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，

因为sinA≠0，所以cosB=
，

由B是三角形内角得，B=
，

（2）由（1）得，B=
，

则f（x）=﹣2cos（2x+B）=﹣2cos（2x+
），

所以g（x）=﹣2cos[2（x+
）+
]，

=﹣2cos（2x+
）=2sin2x，

由
得，
，

故函数g（x）的单调递增区间是：

18. 解：若命题p为真命题，

∵x1，x2是方程x2﹣ax﹣3=0的两个实根

∴x1+x2=a，x1x2=﹣3，

∴|x1﹣x2|=
=
，

∵a∈(0,2]，

∴|x1﹣x2|≤4，

∵|m+1|≥|x1﹣x2|对任意实数a∈(0,2]恒成立，

则只要|m+1|≥|x1﹣x2|max在a∈(0,2]成立即可

∴|m+1|≥4

∴m+1≥4或m+1≤﹣4，

∴m≥3，或m≤﹣5，

若命题q为真命题，

∵f（x）=x3+mx2+（m+
）x+3，

∴f′（x）=3x2+2mx+（m+
），

∵函数f（x）=x3+mx2+（m+
）x+3在（﹣∞，+∞）上有极值，

∴f′（x）=3x2+2mx+（m+
）=0有实根，

∴△=4m2﹣12m﹣40≥0，

解得m≤﹣2，或m≥5，

∵p且￢q为真命题，

∴p真，q假，

解得3≤m＜5，

19.（Ⅰ）设
的公差为
，
的公比为
，则
，

依题意有
，?

解得：
或
（舍去），??????????????????????

，
．???????????

（Ⅱ）

，?????????????????????

令
??? ①

?? ②

①-②得：

????????????????????????????????

，???????????????

．

20.(Ⅰ)
,①

即
②

由①②联立解得:
.

是二次函数, 且
,可设
,

由
,解得
.

.

(Ⅱ)设
,

,

依题意知:当
时,

,在
上单调递减,

在
上单调递增,

解得:

实数
的取值范围为
.………………………12分

21.（Ⅰ）解：当n=1时，
，得
；
，得
；

，得
.

猜想
………………………………………….3’

证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.

（ⅱ）假设当n=k时，
…………………….4’

则当n=k+1时，

结合
，解得
………………..6’

于是对于一切的自然数
，都有
…………7’

（Ⅱ）证法一：因为
，………………10’

证法二：数学归纳法

证明：（ⅰ）当n=1时，
，
，

（ⅱ）假设当n=k时，

则当n=k+1时，

要证：

只需证：

由于

所以

于是对于一切的自然数
，都有

22.（1）

∵
在点（1，
）处的切线与x轴平行∴

∴a=1 ∴

，

当
时，
，当
时
，

∴
在（0,1）上单调递增，在
单调递减，

故
在x=1处取得极大值1，无极小值

（2）∵
时，
，

当
时，
，由（1）得
在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，
在区间（0,1）存在唯一零点，

函数
的图象如图所示

∵函数
在区间
上存在极值和零点

∴

∴存在符号条件的区间，实数t的取值范围为
，

（3）由（1）的结论知，
在
上单调递减，不妨设
，则，

函数
在
上单调递减,

又
，

∴
，在
上恒成立，∴
在
上恒成立

在
上
，∴