灌云县第一中学2016届高三第二次学情检测（2015.12.17）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.?

1．设集合
，集合
，若
，则
　　▲　　.

2．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取　　▲　　名学生．

3．已知复数
满足
（
为虚数单位），

则
的模为 ▲ .

4．根据如图所示的伪代码，最后输出的
的

值为 ▲ .

5．现有5道试题，其中甲类试题2道，乙类试题3道，现从中随机取2道试题，则至少有1道试题是乙类试题的概率为 ▲ ．

6．在
中，若
，
，
，则
的

值是 ▲ ．

7．若实数
满足约束条件
，则目标函数
的最小值为 ▲ ．

8．已知
，则
的值为 ▲ ．

9. 已知等比数列
的前
项和为
，若
，则
的值是 ▲ .

10．已知双曲线
的一条渐近线与直线
平行，则离心率
▲ ．

11．一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积

的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的　　▲　　倍．

12．已知函数
，则不等式

的解集为 ▲

13．已知函数
的图像经过点
，

如右图所示，则
的最小值为　　▲　　．

14．已知直线
与圆
相交于
两点，若
，则圆的半径
　 ▲　 　．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.?

15．（本小题满分14分）设函数
．

（1）求
的单调增区间；

（2）若
，求
的值域．

16．（本小题满分14分）

如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
相交于点
，
，
，平面

平面
，
，点
为
的中点．

（1）求证：直线
平面
；

（2）求证：直线

平面
．

17．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆
，离心率为
．过原点的直线与椭圆
交于
，
两点（
，
不是椭圆
的顶点）．点
在椭圆
上，且
．

（1）若椭圆
的右准线方程为：
，求椭圆
的方程；

（2）设直线
、
的斜率分别为
、
，求
的值．

18．（本小题满分16分）如图，某小区有一矩形地块
，其中
，
，单位：百米．已知
是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边
相切于点 M的直路
（宽度不计），交线段
于点
，交线段
于点
．现以点
为坐标原点，以线段
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，若池边
满足函数
的图象．若点
到
轴距离记为
．

（1）当
时，求直路
所在的直线方程；

（2）当
为何值时，地块
在直路
不含

泳池那侧的面积取到最大，最大值时多少？

19．（本小题满分16分）若函数
在
处取得极大值或极小值，则称
为函数
的极值点. 已知函数
.

（1）当
时，求
的极值；

（2）若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的

取值范围.

20．（本小题满分16分）已知数列
的前
项和为
，且对一切正整数
都有
.

（1）求证：
（
）；

（2）求数列
的通项公式；

（3）是否存在实数
，使不等式
对一切正整数
都成立？若存在，求出
的取值范围；若不存在，请说明理由。

灌云县第一中学2016届高三第二次学情检测

附加题

1．已知矩阵
的一个特征值为
，求矩阵
的另一个特征值及对应的特征向量．

2．已知圆
的参数方程为
，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，求直线
被圆
截得的弦长．

3．在棱长为4的正方体
中，点
在棱
上，且
．

（1）求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）求二面角
的余弦值．

4．已知
为正整数，从数列
中分别求相邻两个数的算术平均数，得出新数列
．对新数列继续上述操作，直至最后剩下一个数
．

（1）求
；

（2）推断数列
的通项公式，并给出证明．

参考答案

填空题

1.1 2.60 3.
4. 55 5.
6. -5 7. 1 8.
9. -2 10.
11.
12. （-2，1） 13.
14.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.?

15．（本小题满分14分）设函数
．

（1）求
的单调增区间；

（2）若
，求
的值域．

解：（1）

……4分

∵
∴
，

∴
的单调增区间为：
……7分

（2）∵
∴
∴

∴
的值域为：
……14分

16．（本小题满分14分）

如图，在多面体
中，四边形
是菱形，
相交于点
，
，
，平面

平面
，
，点
为
的中点．

（1）求证：直线
平面
；

（2）求证：直线

平面
．

解：方法1，

（1）证明：四边形
是菱形

又 点
为
的中点

又
平面

平面

（2）证明：

.

分别为
的中点
且

又
且

四边形
是平行四边形

又

四边形
是菱形
，即

又

……………………………………………………………14分

方法,2，

证明：（1）∵四边形
是菱形，
，∴点
是
的中点，

∵点
为
的中点 ∴
， ……………………3分

又∵
平面
，
平面
，∴直线
平面
．……………7分

（2）∵
，点
为
的中点，∴
.

∵平面

平面
，平面

平面

，

平面
，
∴
平面
， ………………9分

∵
平面
，∴
，

∵
，
，

∴
，

∴四边形
为平行四边形,

∴
， ………………11分

∵
，
，∴
， ∵四边形
是菱形，∴
，

∵
，
，
，
在平面
内，

∴
平面
．　　　　　　　　　 ………………14分

17．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆
，离心率为
．过原点的直线与椭圆
交于
，
两点（
，
不是椭圆
的顶点）．点
在椭圆
上，且
．

（1）若椭圆
的右准线方程为：
，求椭圆
的方程；

（2）设直线
、
的斜率分别为
、
，求
的值．

解：（1）∵
，解得：
∴
∴椭圆方程为：
……6分

（2）法（一） 设
，
，则
，∵
，
在椭圆上

∴
∴

∴
∵
∴
∴
……11分

∵