淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研

数 学Ⅰ 2016.1

一、填空题

1．已知集合
，
，若
，则实数
的值为 ．

2．已知复数
满足
，若
的虚部大于0，则
．

3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在
的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在
以下的汽车有 辆．

4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果
为 ．

5．函数

的部分图像如图所示，若
，则
的值为 ．

6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 ．

7．抛物线
的焦点到双曲线
渐近线的距离为 ．

8．已知矩形
的边
，
若沿对角线
折叠，使得平面

平面
,则三棱柱
的体积为 ．

9．若公比不为1的等比数列
满足
，等差数列
满足
，则
的值为 ．

10．定义在
上的奇函数
满足当
时，
（
，
为常数），若
，则
的值为 ．

11．已知
，且
，若点
满足
，则
的取值范围是 ．

12．已知函数
，若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是 ．

13．已知
，
，
，点
是直线
上的动点，若
恒成立，则最小正整数
的值为 ．

14．设
是正实数，满足
，则
的最小值为 ．

二、解答题

15．在锐角三角形
中，角
的对边为
，已知
，
，

（1）求
； （2）若
，求
.

16．如图，在四棱锥
中，已知底面
为矩形，

平面
,点
为棱
的中点，

求证：（1）
平面
；（2）平面
平面
.

17．如图，
是南北方向的一条公路，
是北偏东
方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线
．为方便游客光，拟过曲线
上的某点分别修建与公路
,
垂直的两条道路
，且
的造价分别为
万元/百米，
万元/百米，建立如图所示的直角坐标系
，则曲线符合函数
模型，设
，修建两条道路
的总造价为
万元，题中所涉及的长度单位均为百米.

（1）求
解析式;

（2）当
为多少时，总造价
最低？并求出最低造价．

18．已知各项均为正数的数列
的首项
，
是数列
的前项和，且满足：
.

（1）若
，
，
成等比数列，求实数
的值;

（2）若
，求
.

19. 如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
：
的离心率
，左顶点为
，过点
作斜率为
的直线
交椭圆
于点
，交
轴于点
.

（1）求椭圆
的方程;

（2）已知
为
的中点，是否存在定点
，对于任意的
都有
，若存在，求出点
的坐标；若不存在说明理由;

（3）若过
点作直线
的平行线交椭圆
于点
，求
的最小值.

20．已知函数
，其中
，
为自然对数的底数

（1）若函数
的图像在
处的切线与直线
垂直，求
的值．

（2）关于
的不等式
在
上恒成立，求
的取值范围．

（3）讨论
极值点的个数．

附加题部分

21．【选做题】

A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，
是直角，圆
与射线
相切于点
，与射线
相交于两点
．求证：
平分
．

B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知矩阵
，求矩阵
的特征值和特征向量．

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆
的极坐标方程为
，已知
，
为圆
上一点，求
面积的最小值．

D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）

设
均为正数，且
，求证：
．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱
中，底面
是直角三角形，
，点
是棱
上一点，满足
．

（1）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）若二面角
的正弦值为
，求
的值．

23.（本小题满分10分）

已知数列
满足
，
．

（1）求证：
；（2）求证：当
时，
．

数学I参考答案及评分标准

一、填空题

1. 2； 2.
； 3．75； 4．9； 5．
； 6.
；

7．
； 8.
； 9．26； 10. 4； 11．
；

12．
； 13．4； 14.
．

二、解答题

15．（1）在锐角三角形
中，由
，得
， …………2分

所以
.……………………………………………………………4分

由
，得
. ………………7分

（2）在锐角三角形
中，由
，得
，
，……9分

所以
，…………………11分

由正弦定理
，得
. ………………14分

16．(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE．………2分

因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点．

因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．………4分

因为PB
平面EAC，OE(平面EAC，

所以直线PB∥平面EAC．……………………6分

(2) 因为PA⊥平面PDC，CD(平面PDC，所以 PA⊥CD． …………………8分

因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分

因为 PA∩AD＝A，PA，AD(平面PAD，所以 CD⊥平面PAD．…………12分

因为CD(平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． …………………14分

17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为
，

所以点P坐标为
，

直线OB的方程为
， ……………………………………………………2分

则点P到直线
的距离为
，………………4分

又PM的造价为5万元／百米，PN的造价为40万元／百米．

则两条道路总造价为
． …………8分

(2) 因为
，

所以
， ………………………10分

令
，得
，列表如下：





















单调递减

极小值

单调递增





所以当
时，函数
有最小值，最小值为
．……13分

答：（1）两条道路PM ,PN总造价
为

；

（2）当
时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分

（注：利用三次均值不等式
，

当且仅当
，即
时等号成立，照样给分．）

18.（1）令
，得
．

令
，得
，所以
．…………2分

由
，得
，因为
，所以
．………4分

（2）当
时，
，

所以
，即
，………………………6分

所以数列
是以
为首项，公差为
的等差数列，

所以
， ……………………………………………………8分

即
，①

当
时，
，②

①②得，
，……………………………………………10分

即
，所以
， ………………………12分

所以
是首项为
是常数列，所以
. ……………………14分

代入①得
. ……………………16分

19. （1）因为左顶点为
，所以
，又
，所以
.…………………2分

又因为
，

所以椭圆C的标准方程为
. ………………………………………4分

（2）直线
的方程为
，由
消元得，
.

化简得，
，

所以
，
. ……………………………………………………6分

当
时，
，

所以
.因为点
为
的中点，所以
的坐标为
，

则
.…………………………………………………………………………8分

直线
的方程为
，令
，得
点坐标为