淮海中学2016届高三年级冲刺二统模拟试卷

数学 I

参考公式 (1) 样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝ xi．

(2) 锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1. 已知集合
，
，则
　▲　．

2. 已知
是虚数单位，则复数
虚部为　▲　．

3. 如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数

学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为　▲　．

4. 函数
的定义域为　▲　．

5. 执行如右图所示的流程图，则输出的
为　▲　．

6. 已知正四棱锥的底面边长是3，高为
，这个正四棱锥的侧

面积是　▲　．

7. 从集合
中取两个不同的数
，则
的概

率为　▲　．

8. 在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2?8y的焦点，则F到双曲线
的渐近线的距离为　▲　．

9. 在等差数列
中，已知
，则
=　▲　．

10. 函数
，若
，则
的最小正周期为　▲　．

11. 如图，正六边形ABCDEF的边长为
，P是线段DE上的任意一点，则
的取值范围为　▲　．

12. 已知直线
（
是实数）与圆
（

是坐标原点）相交于
两点，且
是直角三角形，点

是以点
为圆心的圆
上的任意一点，则圆
的

面积的最小值为　▲　．

13. 已知
，且
，则
的最小值为　▲　．

14. 已知函数
若函数
有四个零点，则实数
的所有可能取值构成的集合是　▲　．

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本题满分14分）

在
中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知向量

．

（1）求A的大小．（2）若
，
，求
的面积．

16．（本题满分14分）

如图，四棱锥
中，
⊥底面
，底面
为菱形，点
为侧棱
上一点.

（1）若
，求证：
平面
；

（2）若
，求证：平面
⊥平面
.

17．（本题满分14分）

某生态农庄池塘的平面图为矩形
,已知

为
上一点，且

为池塘内一临时停靠点，且
到
的距离均为3，
为池塘上的浮桥，为了固定浮桥，现准备经过临时停靠点
再架设一座浮桥
，其中
分别是浮桥
上点.（浮桥宽度、池塘岸边宽度不计）设
.

（1）当
为何值时，
为浮桥
中点?

（2）怎样架设浮桥
才能使得
面积最小，求出面积最小时
的值？

18．（本题满分16分）

在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，右焦点
，点P在椭圆
上，且在第一象限，直线
与圆
相切与点
.

（1）求椭圆
的方程；

（2）求
的取值范围；

（3）若
，求点
的纵坐标
的值.

19．（本题满分16分）

已知数列
的前
项和
满足：
（
为常数，且
）．

（1）证明：
成等比数列；

（2）设
，若数列
为等比数列，求
的值；

（3）在满足条件（2）的情形下，设
，数列
的前
项和为
，若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围．

20．（本题满分16分）

已知函数
，a，bR，且a＞0．

（1）若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；

（2）设g(x)＝a(x－1)
－f(x)．

① 当a＝1时，对任意x(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；

② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．

淮海中学2016届高三年级冲刺二统模拟考试

数 学 II 卷（附加题）

（考试时间：30分钟 总分：40分）

21B．选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵
，若矩阵
对应的变换把直线
变为直线
，求直线
的方程．

21C．选修4－4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系
中，圆
的参数方程为
为参数，
，以
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，若圆
上的点到直线
的最大距离为
，求
的值.

22.（本小题满分10分）

袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚，从中任取2枚棋子都是白色的概率为
. 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子。甲先摸，乙后取，然后甲再取，……，取后均不放回，直到有一人取到白棋即终止. 每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的。用
表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.

（1）求随机变量
的概率分布列和数学期望
；

（2）求甲取到白球的概率.

23.（本小题满分10分）

设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：

①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．

（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；

（2）求f(n)的表达式．

淮海中学2016届高三年级冲刺二统数学模拟试卷

参考答案与评分标准（I卷）

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

1．
； 2．1； 3．
； 4．(-3,2)； 5．4； 6．
； 7．
;

8．
； 9．15 ； 10．
； 11．
； 10； 12．
; 13．8; 14．

二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 解：（1）由m
n得

再由正弦定理得
化简得

即

，所以
.……………………… 7分

（2）由余弦定理得
，整理
，

将
代入得
，
………………… 14分

16.解:(1) 证：（1）设
的交点为
，连

底面
为菱形，

为
中点，又
，

， ………………………………… 5分

且
平面
，
平面
，

平面
. …………………………………………………………7分

（2）
底面
为菱形，

，

⊥底面
，

，

⊥平面
，

，

，

平面
，

又
平面
，
平面
⊥平面
. ………………………………14分

17.解：设点

（1）以E为坐标原点，AD所在直线为y轴，过E垂直于AD的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.

则C(4，8)，B（4，-2），P(1,1)

∴EC：y=2x EB：
∴EC⊥EB

设M（m，2m），N（2n，n），（m>0,n>0）

∵P为MN的中点

∴
∴
此时
，
.

答：当
时，
为
中点. …………………………………………7分

（2）∵
∴
∴
（
）

∵EC⊥EB ∴
=

∵
当且仅当
时取等号， ∴
.

∴
=

，此时
. …………………………………………13分

答：当
时，三角形
面积最小，最小为
.…………………………………14分

所以
………………………………16分

19. 解（1）当
时，
，得

当
时，
，即
，
，

所以
，故
成等比数列；…………………………………………5分

（2）由（1）知
成等比数列且公比是
，

故
，即
……………………7分

若数列
是等比数列，则有
，而

故
，解得
，再将
代入
得

由
知
为等比数列，所以
………………………………10分

（3）由
，知
，
，

由不等式
恒成立，得
，……………………12分

由
，

当
时，
，当
时，
，……………………14分

而

，
………………………………------16分

20. （1）当a＝2，b＝1时，f (x)＝(2＋)ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

所以f ′(x)＝ex． …………………………………………2分

令f ′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

x

(－∞，－1)

－1

(－1，0)

(0，)



(，＋∞)



f ′(x)





－

－







f (x)

↗

极大值

↘

↘

极小值

↗



由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1，f (x)的极小值是f ()＝4…………………4分

（2）① 因为g (x)＝(ax－a)ex－f (x)＝(ax－－2a)ex，

当a＝1时，g (x)＝(x－－2)ex．

因为g (x)≥1在x∈（0，＋∞）上恒成立，

所以b≤x2－2x－在x∈（0，＋∞）上恒成立．…………………………………8分

记h(x)＝x2－2x－（x＞0），则h′(x)＝．

当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在（0，1）上是减函数；

当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在（1，＋∞）上是增函数．

所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1．

所以b的最大值为－1－e－1． ………………………………………10分

②解：因为g (x)＝(ax－－2a)ex，所以g ′(x)＝(＋ax－－a)ex．

由g (x)＋g ′(x)＝0，得(ax－－2a)ex＋(＋ax－－a)ex＝0，

整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0．

存在x＞1，使g (x)＋g ′(x)＝0成立，

等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． ……………………………12分

因为a＞0，所以＝．

设u(x)＝（x＞1），则u′(x)＝．

因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在（1，＋∞）是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，

所以＞－1，即的取值范围为（－1，＋∞）． ………………………16分

淮海中学高三冲刺二统模拟考试

数学参考答案

第II卷（共40分）

21B解：∵
，∴
. ……………………………4分

在直线
上任取一点
，它是由
上的点
经矩阵
所对应的变换所得，

则一方面，∵点
在直线
上，∴
.……①

，即
，∴
， …………………………7分

∴
……②

将②代入①得
，即
，

∴直线
的方程为
. ……………………………10分

21C解：圆
的参数方程为
为参数，
，消去参数
得

，所以圆心
，半径为
.…………3分

直线
的极坐标方程为
，化为普通方程为
. ……………6分

圆心
到直线
的距离为
，……8分

∵圆
上的点到直线
的最大距离为3，即
，∴
．

…