扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题

高 三 数 学 2016.1

第一部分

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应位置）

1.已知集合
，
，则
▲ .

2.若复数
（
是虚数单位），则
的虚部为 ▲ .

3.如图，若输入的
值为
，则相应输出的值为 ▲ .

4.某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高. 据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
、第二组
、……、第八组
. 按上述分组方式得到的频率分布直方图的一部分如图所示，估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为 ▲ .

5.双曲线
的焦点到渐近线的距离为 ▲ .

6.从1，2，3，4，5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是 ▲ .

7.已知等比数列
满足
，
，则该数列的前5项的和为 ▲ .

8.已知正四棱锥底面边长为
，体积为32，则此四棱锥的侧棱长为 ▲ .

9.已知函数
（
），且
（
），则
▲ .

10.已知
，
，
，若
，则
▲ .

11.已知
且
，则
的最小值为 ▲ .

12.已知圆O：
，若不过原点O的直线
与圆O交于
、
两点，且满足直线
、
、
的斜率依次成等比数列，则直线
的斜率为 ▲ .

13. 已知数列
中，
（
），
（
），记
，若
，则
▲ .

14.已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
. 若集合
，则实数
的取值范围为 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分14分）

如图，已知直三棱柱
中，
，
、
分别为
、
中点，
.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
平面
.

16. （本小题满分14分）

已知函数
（
）的周期为
.

（1）当
时，求函数
的值域；

（2）已知
的内角
，
，
对应的边分别为
，
，
，若
，且
，
，求
的面积.

17. （本小题满分15分）

如图，已知椭圆
（
）的左、右焦点为
、
，
是椭圆上一点，
在
上，且满足
（
），
，
为坐标原点.

（1）若椭圆方程为
，且
，求点
的横坐标；

（2）若
，求椭圆离心率
的取值范围.

18. （本小题满分15分）

某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系
.

（1）若最大拱高
为6米，则隧道设计的拱宽
是多少？

（2）为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小. 现隧道口的最大拱高
不小于6米，则应如何设计拱高
和拱宽
，使得隧道口截面面积最小？（隧道口截面面积公式为
）

19. （本小题满分16分）

已知函数
（
），其中
是自然对数的底数.

（1）当
时，求
的极值；

（2）若
在
上是单调增函数，求
的取值范围；

（3）当
时，求整数
的所有值，使方程
在
上有解.

20. （本小题满分16分）

若数列
中不超过
的项数恰为
（
），则称数列
是数列
的生成数列，称相应的函数
是数列
生成
的控制函数.

（1）已知
，且
，写出
、
、
；

（2）已知
，且
，求
的前
项和
；

（3）已知
，且
（
），若数列
中，
，
，
是公差为
（
）的等差数列，且
，求
的值及
的值.

第二部分（加试部分）

21.（本小题满分10分）

已知直线
在矩阵
对应的变换作用下变为直线
，求矩阵
.

22. （本小题满分10分）

在极坐标系中，求圆
上的点到直线
（
）距离的最大值.

23. （本小题满分10分）

某商场举办“迎新年摸球”活动，主办方准备了甲、乙两个箱子，其中甲箱中有四个球，乙箱中有三个球（每个球的大小、形状完全相同），每一个箱子中只有一个红球，其余都是黑球. 若摸中甲箱中的红球，则可获奖金
元，若摸中乙箱中的红球，则可获奖金
元. 活动规定：①参与者每个箱子只能摸一次，一次摸一个球；②可选择先摸甲箱，也可先摸乙箱；③如果在第一个箱子中摸到红球，则可继续在第二个箱子中摸球，否则活动终止.

（1）如果参与者先在乙箱中摸球，求其恰好获得奖金
元的概率；

（2）若要使得该参与者获奖金额的期望值较大，请你帮他设计摸箱子的顺序，并说明理由.

24. （本小题满分10分）

已知函数
，设数列
满足：
，
.

（1）求证：
，都有
；

（2）求证：
.

扬州市2015-2016学年度第一学期高三期末调研测试

数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案

2016．1

一、填空题

1．
2．3 3．
4．144 5．4 6．
7．31 8．5

9．
10．
11．
12．
13．1343 14．

二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．证明：（1）
、
分别为
、
中点，
， …………2分

平面
，
平面

平面
…………6分

（2）直三棱柱
中，
平面

平面

…8分

，
为
中点
，又
，
，
平面
，

平面

…………11分

又
，
，
，
平面

平面

平面

平面

平面
…………14分

16．解：（1）
…………2分

的周期为
，且
，
，解得

…………4分

又
， 得
，
，

即函数
在
上的值域为
．………7分

（2）


由
，知
，

解得：
，所以
…………9分

由余弦定理知：
，即

，因为
，所以
…………12分

∴
． …………14分

17．（1）

直线
的方程为：
，直线
的方程为：
…………4分

由
解得：

点
的横坐标为
…………6分

（2）设

，

即
…………9分

联立方程得：
，消去
得：

解得：
或
…………12分

解得：

综上，椭圆离心率
的取值范围为
． …………15分

18．解：（1）设抛物线的方程为：
，则抛物线过点
，

代入抛物线方程解得：
， …………3分

令
，解得：
，则隧道设计的拱宽l是40米； …………5分

（2）抛物线最大拱高为h米，
，抛物线过点
，代入抛物线方程得：

令
，则
，解得：
，则
，
………9分

即

………12分

当
时，
；当
时，
，即
在
上单调减，在
上单调增，
在
时取得最小值，此时
，

答：当拱高为
米，拱宽为
米时，使得隧道口截面面积最小． ………15分

19．解：（1）
，则
………2分

令