江苏省常州高级中学

2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研（二）

文 科 数 学 试 卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．函数y＝
的定义域是 ▲ ；

2．设
是虚数单位，若复数
满足
，则复数
的模
= ▲ ；

3．“
”是“直线
和直线
平行”的 ▲ 条件；（选“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空）

4．若样本数据
，
，，
的标准差为
，则数据
，
，，
的标准差为 ▲ ；

5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 ▲ ；

6．已知等差数列
的公差为
，若
成等比数列，那么
等于 ▲ ；

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ；

8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是▲ ；

9．已知

，则
= ▲ ；

10．已知双曲线
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为_______ ▲_______；

11．已知菱形
的边长为2，
，点
分别在边
上，
，若
，则
的值为 ▲ ；

12．如果函数
在区间
上单调递减，则mn的最大值为 ▲ ；

13．已知函数
,则方程
恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是 ▲ ；

14．已知圆O：
，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC长的取值范围 ▲ ；

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．（本小题满分14分）

在
中，
，

（1）求
的值；

（2）若点D在
边上，
，求
的长。

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2
，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

17．（本小题满分14分）

某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油
万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前
个月的需求量
（万吨）与
的函数关系为
，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． （1）试写出第
个月石油调出后，油库内储油量
（万吨）与
的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定
的取值范围．

18．（本小题满分16分）

平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别是
，以
为圆心以3为半径的圆与以
为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆
上.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过椭圆
上一动点
的直线
，过F2与x轴垂直的直线记为
，右准线记为
；

①设直线
与直线
相交于点M，直线
与直线
相交于点N，证明
恒为定值，并求此定值。

②若连接
并延长与直线
相交于点Q，椭圆
的右顶点A，设直线PA的斜率为
，直线QA的斜率为
，求
的取值范围．

19．（本小题满分16分）

设数列
的前
项和
，
，
，且当
时，
．

（1）求证:数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；

（2）令
，记数列
的前
项和为
．设
是整数，问是否存在正整数
，使等式
成立？若存在，求出
和相应的
值；若不存在，说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知
为实常数，函数
.

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若函数
有两个不同的零点
；

①求实数
的取值范围；

②求证：
.

江苏省常州高级中学

2015-2016学年第一学期高三年级阶段调研

数学试卷答案

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）

1．函数y＝
的定义域是 ▲ ； （－1，＋∞）

2．设
是虚数单位，若复数
满足
，则复数
的模
= ▲ ； 1

3．“
”是“直线
和直线
平行”的 ▲ 条件；（选“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”填空） 充分不必要

4.若样本数据
，
，，
的标准差为
，则数据
，
，，
的标准差为 ▲ ；16

5．阅读右面的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 ▲ ；

4

6.已知等差数列
的公差为
，若
成等比数列，那么
等于 ▲ ；

7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为 ▲ ；

8．圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是▲ ；

9．已知

，则
= ▲ ；

10．已知双曲线
的一条渐近线过点
，且双曲线的一个焦点在抛物线
的准线上，则双曲线的方程为______________；

11．已知菱形
的边长为2，
，点
分别在边
上，
，若
，则
的值为 ▲ ；2

12．如果函数
在区间
上单调递减，则mn的最大值为 ▲ ； 18

13．已知函数
,则方程
恰有两个不同的实根时，实数a的

取值范围是 ▲ ；

14．已知圆O：
，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，求弦长AC长的取值范围 ▲ ；

二、解答题（本大题共6小题，共计90分）

15．（本小题满分14分）

在
中，
，

（1）求
的值；

（2）若点D在
边上，
，求
的长。

解：如图， 设
的内角
所对边的长分别是
，由余弦定理得
， 所以
. 4分

又由正弦定理得
. 6分

由题设知
，所以
. 8分

10分

在
中，由正弦定理得
. 14分

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC＝2，AB＝4，BC＝2
，∠CBA＝30°．

（1）求证：AC⊥PB；

（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长。

16．（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，

又∠CBA＝30°，BC＝2
，AB＝4，

∴AC＝

＝
，

∴AC2＋BC2＝4＋12＝16＝AB2，∴∠ACB＝90°，

故AC⊥BC．又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，

故AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB． …………7分

（2） BM=2 ………………14分

17. （本小题满分14分）

某油库的设计容量为30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油
万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前
个月的需求量
（万吨）与
的函数关系为
，并且前4个月，区域外的需求量为20万吨． （1）试写出第
个月石油调出后，油库内储油量
（万吨）与
的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定
的取值范围．

解：（1）
………………………4分

（2）根据题意
，

所以
恒成立 ………………………6分

即
恒成立 …………………8分

…14分（2+2+2）

18. （本小题满分16分）

平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别是
，以
为圆心以3为半径的圆与以
为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆
上.

（1）求椭圆
的方程；

（2）过椭圆
上一动点
的直线
，过F2与x轴垂直的直线记为
，右准线记为
；

①设直线
与直线
相交于点M，直线
与直线
相交于点N，证明
恒为定值，并求此定值。

②若连接
并延长与直线
相交于点Q，椭圆
的右顶点A，设直线PA的斜率为
，直线QA的斜率为
，求
的取值范围．

（1）由题意知
，则
,又
可得
,

所以椭圆C的标准方程为
. ………………4分

（2）①M
N
………………6分

………9分

②点
（
），点Q
， ………………10分

∵
，
，

∴
=
=
． ……………………12分

∵点P在椭圆C上， ∴
，

∴
=
=
．……………14分

∵
，

∴