南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题

(总分160分，考试时间120分钟)

参考公式

锥体的体积公式：
，其中
为底面积,
为高.

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）

1．已知集合
，
，则
= ▲ .

2．已知复数
（
是虚数单位），则
▲ .

3．书架上有
本数学书，
本物理书，从中任意取出
本，

则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ .

4．运行如图所示的伪代码，其结果为 ▲ .

5．某校高一年级有学生
人，高二年级有学生
人，

现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出
人，其中

从高一年级学生中抽出
人，则从高三年级学生中抽

取的人数为 ▲ .

6．在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的顶点在坐标原点，焦点在
轴上，若曲线
经过点
，则其焦点到准线的距离为 ▲ .

7．已知实数
满足
则目标函数
的最小值为 ▲ .

8．设一个正方体与底面边长为
，侧棱长为
的正四棱锥的体积相等，则该正方体的棱长为 ▲ .

9．在
中，设
分别为角
的对边，若
，
，
，则边
= ▲ .

10．设
是等比数列
的前
项和，
，若

，则
的最小值为 ▲ .

11．如图，在
中，
，
，
，则
的值为 ▲ .

12．过点
的直线
与圆
相交于
两点，若点
恰好是线段
的中点，则直线
的方程为 ▲ .

13．设
是定义在
上的奇函数，且
，设
若函数
有且只有一个零点，则实数
的取值范围是 ▲ .

14．设函数
的图象上存在两点
，使得
是以
为直角顶点的直角三角形（其中
为坐标原点），且斜边的中点恰好在
轴上，则实数
的取值范围是 ▲ .

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．(本小题满分14分)

设函数
的部分图象如图所示.

（1）求函数
的解析式；

（2）当
时，求
的取值范围.

16．(本小题满分14分)

如图，已知直三棱柱
的侧面
是正方形，点
是侧面
的中心，
，
是棱
的中点.

（1）求证：
平面
；

（2）求证：平面
平面
.

17．(本小题满分14分)

如图所示，
是两个垃圾中转站，
在
的正东方向
千米处，
的南面为居民生活区. 为了妥善处理生活垃圾，政府决定在
的北面建一个垃圾发电厂
. 垃圾发电厂
的选址拟满足以下两个要求（
可看成三个点）：①垃圾发电厂到两个垃圾中转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比，比例系数相同；②垃圾发电厂应尽量远离居民区（这里参考的指标是点
到直线
的距离要尽可能大）. 现估测得
两个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为
吨和
吨，问垃圾发电厂该如何选址才能同时满足上述要求？

18．(本小题满分16分)

如图，在平面直角坐标系
中，设点
是椭圆
上一点，从原点
向圆
作两条切线分别与椭圆
交于点
，直线
的斜率分别记为
.

（1）若圆
与
轴相切于椭圆
的右焦点，求圆
的方程；

（2）若
.

①求证：
；

②求
的最大值.

19．(本小题满分16分)

已知函数
在
处的切线方程为
.

（1）求
的值；

（2）若对任意的
，都有
成立，求
的取值范围；

（3）若函数
的两个零点为
，试判断
的正负，并说明理由.

20．(本小题满分16分)

设数列
共有
项，记该数列前
项
中的最大项为
，该数列后
项
中的最小项为
，
.

（1）若数列
的通项公式为
，求数列
的通项公式；

（2）若数列
是单调数列，且满足
，
，求数列
的通项公式；

（3）试构造一个数列
，满足
，其中
是公差不为零的等差数列，
是等比数列，使得对于任意给定的正整数
，数列
都是单调递增的，并说明理由.

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

数学附加题部分

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21．[选做题]（在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

A.（选修4—1：几何证明选讲）

如图，
为⊙
的直径，直线
与⊙
相切于点
，

，

，
、
为垂足，连接
. 若
，
，求
的长.

B.（选修4—2：矩阵与变换）

设矩阵
的一个特征值为
，若曲线
在矩阵
变换下的方程为
，求曲线
的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）

在极坐标系中，已知点
的极坐标为
，圆
的极坐标方程为
，

试判断点
和圆
的位置关系.

D．(选修4—5：不等式选讲）

已知正实数
满足
.

求证：
.

[必做题]（第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内）

22．（本小题满分10分）

直三棱柱
中，
，
，
，
，
.

（1）若
，求直线
与平面
所成角的正弦值；

（2）若二面角
的大小为
，求实数
的值.

23．（本小题满分10分）

设集合
，记
的含有三个元素的子集个数为
，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为
.

（1）求
，
，
，
的值；

（2）猜想
的表达式，并证明之.

南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

9.
10.
11.
12.
13.
14.


二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.

15．解：（1）由图象知，
， …………2分

又
，
，所以
，得
. …………4分

所以
，将点
代入，得
，

即
，又
，所以
. …………6分

所以
. …………8分

（2）当
时，
， …………10分

所以
，即
. …………14分

16．证明：（1）在
中，因为
是
的中点，
是
的中点，

所以
. ...............4分

又
平面
，
平面
，所以
平面
. ...............6分

（2）因为
是直三棱柱，所以
底面
，所以
，

又
，即
，而
面
，且
，

所以
面
. ...............8分

而
面
，所以

，

又
是正方形，所以
，而

面
，且
，

所以
面
. ...............12分

又
面
，所以面
面
. ...............14分

17．解法一：由条件①，得
. ...............2分

设