常州市第一中学、江阴南菁高中2016届高三两校联考

数学试题

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）

1．已知集合
，
，且
，则实数
的值是 ▲ ．

2．“
”是“
对
恒成立”的 ▲ .条件（填“充分不必要、必要不充分、充要”）．

3．已知m，n为实数，若关于x的不等式x2+mx+n＜0的解集为(—1，3)，则m+n的值为 ▲ ．

4．函数
的值域是 ▲ .

5．已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为 ▲ ．

6. 底面边长为a的正四面体的体积为 ▲ ．

7．已知
是椭圆
（
）的左焦点，
为右顶点，
是椭圆

上一点，
轴.若
，则该椭圆的离心率是 ▲ ．

8．已知
的一个内角为
，并且三边长构成公差为4的等差数列，则
的面积为 ▲ ．

9．已知
是定义在R上的函数，且对任意
都有
，若函数

的图象关于点
对称，且
，则
▲ .

10．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC,∠ABC=60°,BC=
AB=2,动点E和F分别在线段BC和DC上，

且
=

，
=

，则
·
的最小值为 ▲ ．

11．已知函数
，对于实数
、
、
有
，

，则
的最大值等于 ．

12．已知函数
R
,
，若关于
的方程

为自然对数的底数)只有一个实数根, 则
= ▲ ．

13．设
，
，…，
是各项不为零的
（
）项等差数列，且公差
．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对
所组成的集合为 ▲ ．

14．已知
点为圆
与圆
公共点，圆
+1，圆
+1 ，若

，则点
与直线
：
上任意一点
之间的距离的最小值为 ▲ ．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，并把答案写在答题纸的指定区域内）

15. （本题满分14分）

在△ABC中，
分别为角A、B、C的对边，若
=(
,
）,
,且

.

（1）求角A的度数；

（2）当
，且△ABC的面积
时，求边
的值和△ABC的面积。

▲ ▲ ▲

16．（本题满分14分）

已知直三棱柱
中，
分别为
的中点，
,点
在线段
上，且
．

（1）证:
；

（2）若
为线段
上一点，试确定
在线段
上的位置，使得
平面
．

▲ ▲ ▲

17．（本题满分14分）

如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸l（直线）的同侧，M和N距离河岸分别为10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，从P排直线水管PM，PN分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段长为t km（0 < t < 8）．

（1）求污水处理站P到两小区的水管的总长最小值（用t表示）；

（2）请确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理站分别到两小区水管的长度．

▲ ▲ ▲

18.（本题满分16分）

已知椭圆E：＋＝1过点D(1，)，且右焦点为F(1,0)，右顶点为A．过点F的弦为BC．直线BA，

直线CA分别交直线l:x＝m,(m＞2)于P?Q两点．

求椭圆方程；

（2）若FP⊥FQ，求m的值．

▲ ▲ ▲

19. （本题满分16分）

已知函数

（1）求函数
在点
处的切线方程；

（2）求函数
单调递增区间；

（3）若存在
，使得
是自然对数的底数），求实数
的取值范围．

▲ ▲ ▲

20. （本题满分16分）

在数列
中，
，且对任意的
,
成等比数列，其公比为
．

（1）若
=2(
)，求
；

（2）若对任意的
，
，
，
成等差数列，其公差为
，设
．

① 求证：
成等差数列，并指出其公差；

②若
=2,试求数列
的前
项的和
．

▲ ▲ ▲

一、填空题：

1．
； 2．充分不必要； 3．－5； 4．［－4,0］； 5．
； 6.
； 7．
； 8．15
； 9．
； 10．
；11．
； 12.
； 13．
； 14．2.

二、解答题：

15. （本题满分14分）

【解】：（I）由于

，所以

. ....................................3分

所以
或1（舍去），....................................5分

又因为
. ...................................6分

即角A的度数为
.....................................7分

（II）由
及余弦定理得：
，....................................9分

又因为
∴
....................................10分

又由正弦定理
得
， ....................................12分

所以
的面积
。 .....................................14分

16．（本题满分14分）

【解】：

直三棱柱可知
平面
,
平面ABC, 所以
，....................................1分

又因为
，
平面BCE,
平面BCE,
面
，

故
， ....................................4分

又在直三棱柱中，
，
平面
,
平面
,

故
面
在平面
内，所以
....................................7分

(2)连结AE，在BE上取点M，使BE=4ME, ....................................8分

连结FM，
,F
，在
中，由BE=4ME，AB=4AF....................................10分

所以MF//AE， ....................................11分

又在面AA1C1C中，∵
且
，∴C1D//AE，又MF//AE，所以
MF，

平面
，

平面
，
平面
．...................................14分

17．（本题满分14分）

【解】：

（1）如图，以河岸l所在直线为x轴，以过M垂直于l的直线为y轴建立直角坐标系，则可得点
，由MN=14,MO=10,NN’=8点
...................................2分

设点
，过P作平行于x轴的直线m，作N关于m的对称点
，则
．

所以

即为所求． ...................................6分

（2）设三段水管总长为
，则由（1）知

，

所以
， ...................................8分

即方程
在
上有解． ...................................9分

故
，即
，

解得
或
，所以L的最小值为21，此时对应的
． ...................................11分

故
，
方程为
，令
得
，即
．

从而
，
．...................................13分

答：满足题意的P点距河岸5km，距小区M到河岸的垂线
km，此时污水处理站到小区M和N的水管长度分别为10km和6km． ...................................14分

18.（本题满分16分）

【解】：

（1）＋＝1,a2－b2＝1,解之得a2＝4，b2＝3，

所以椭圆方程为＋＝1； ...................................4分

（2）设B(x0，y0)，则BC：y＝(x－1)，...................................5分

与椭圆E：＋＝1联立方程组：...................................4分

解得x＝x0，y＝y0或x＝，y＝，所以C(,)．..................................6分

kABkAC＝?＝?＝＝＝－． ..................................10分

显然kAB＝kAP,kAC＝kAQ，所以kAPkAQ＝－． ..................................12分

设Q(m,y1)，kFQ＝＝?＝kAQ，同理kFP＝ kAP．..................................14分

所以kFP kFQ＝()2kAPkAQ＝－()2＝－1,又m＞2，所以＝，所以m＝4．...........16分

19. （本题满分16分）

【解】：

⑴因为函数
，

所以
，
，

又因为
，所以函数
在点
处的切线方程为
．..................................3分

由⑴，
．

因为当
时，总有
在
上是增函数， ..................................5分

又
，所以不等式
的解集为
，

故函数
的单调增区间为
． ..................................7分

⑶因为存在
，使得
成立，

而当
时，
，

所以只要
即可． ..................................8分

又因为