新丰中学2016届高三第二次学情调研考试

数学试题

一．填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卷上）

1.若集合
，B＝{
，则
=________.

2.已知函数
的最小正周期为
，则
＝_______

3.函数
的定义域是________．

4.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.

5.在等差数列
中，
，则
的前5项和为________．

6.中心在原点，准线方程为
，离心率为
的椭圆的标准方程是________________．

7.函数
的最小值为________．

8．函数
的单调递减区间为________．

9. 已知直线
与圆
相切，则
的值为________．

10.若函数
有且只有一个零点，则实数
的值为__________ .

11.已知
和
是方程
的两根，且
，则
=_____.

12.设
分别为圆
和椭圆
上的点，则
两点间的最大距离是________．

13.设
是定义在
上、以1为周期的函数，若
在
上的值域为
，则
在区间
上的值域为 .

14.已知圆心角为120°的扇形
的半径为1，
为弧
的中点，点
分别在半径
上．若
，则
的最大值是________．

二．解答题（本大题共6小题，满分90分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

15.（本小题满分14分）

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．

求证：PA∥面BDE；

平面PAC⊥平面BDE；

16.（本小题满分14分）

已知向量
设函数

（I）求
的最小正周期与单调递减区间；

（II）在△ABC中，
分别是角A、B、C的对边，若
△ABC的面积为
，求
的值.

17.（本小题满分14分）

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式
，其中3

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

18.（本小题满分16分）

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，－3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

（1）求向量
的坐标；

（2）求圆
关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a，使抛物线
上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

19.（本小题满分16分）

数列
满足

，
.

(1)求
，
的值；

(2)是否存在一个实数
，使得

，且数列
为等差数列？若存在，求出实数
；若不存在，请说明理由；

(3)求数列
的前
项和
.

20.（本小题满分16分）

已知函数
在
处的切线方程为

（1）若
=
，求证：曲线
上的任意一点处的切线与直线
和直线
围成的三角形面积为定值；

（2）若
，是否存在实数
，使得
对于定义域内的任意
都成立；

（3）若方程
有三个解，求实数
的取值范围．

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数学试题答题卷

一、填空题（本大题共14小题；每小题5分，共70分．不需写出解答过 题过程，请将答案直接写在答题卷上）

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

二．解答题（本大题共6小题,满分90分．解答须写出文字说明、证明过 明过程或演算步骤．）

15.(本题满分14分）

16.(本题满分14分）

—————————————————————————————————

17.(本题满分14分）

18.(本题满分16分）

—————————————————————————————————

19.(本题满分16分）

20.(本题满分16分）

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数学试题答案

一．填空题

1.
2.

3.[1，) 4.3

5.10 6.＋＝1

 8．(0,1]

9. 8或－18 10.
或

11.
12. 6

13.
14 

12.解析　设圆的圆心为C，则C(0,6)，半径为r＝，

点C到椭圆上的点Q(cos α，sin α)的距离CQ＝＝

＝≤＝5，

当且仅当sin α＝－时取等号，所以PQ≤CQ＋r＝5＋＝6，即P，Q两点间的最大距离是6.

解析　在△COD中，由余弦定理得CD2＝1＋OD2－OD，同理在△EOC、△DOE中，由余弦定理分别得CE2＝1＋OE2－OE，DE2＝OE2＋OD2＋OD·OE，代入CD2＋CE2＋DE2＝整理得2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－＝3OD·OE，由基本不等式得3OD·OE≤，所以2(OD＋OE)2－(OE＋OD)－≤，解得0≤OD＋OE≤，即OD＋OE的最大值是.

二．解答题

15.（本小题满分14分）

连结OE，如图所示．

∵O、E分别为AC、PC中点，

∴OE∥PA． …………3分

∵OE?面BDE，

PA?面BDE，

∴PA∥面BDE． …………7分

(2)∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．

在正方形ABCD中，BD⊥AC，

又∵PO∩AC＝0，∴BD⊥面PAC． …………10分

又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE． …………14分

16.（本小题满分14分）

解：（I）

…………4分

…………5分

…………7分

（II）由
得

…………10分

…………12分

…………14分17.（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）因为x=5时，y=11，所以
…………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，该商品每日的销售量

所以商场每日销售该商品所获得的利润

.…………8分

从而，
，

（3，4）

4

（4，6）





+

0

-





单调递增

极大值42

单调递减



于是，当x变化时，
的变化情况如下表：

由上表可得，x=4是函数
在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点，

所以，当x=4时，函数
取得最大值，且最大值等于42.…………13分

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.…………14分

18.（本小题满分16分）

解]（1）设
得

所以v－3>0,得v=8,故
={6，8}. ………5分

（2）由
={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2+y(y+1)2=10, 得圆心（3，－1），半径为
.

设圆心（3，－1）关于直线OB的对称点为（x ,y）则

故所求圆的方程为(x－1)2+(y－3)2=10.

………10分

（3）设P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线OB对称两点，则

故当
时，抛物线y=ax2－1上总有关于直线OB对称的两点.

………16分

19.（本小题满分16分）

解　(1)由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9，

∵9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.

………4分

(2)假设存在实数t，使得{bn}为等差数列，则2bn＝bn－1＋bn＋1，(n≥2且n∈N*)

∴2×(an＋t)＝(an－1＋t)＋(an＋1＋t)，

∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，

∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1.

即存在实数t＝1，使得{bn}为等差数列．

………10分

(3)由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴bn＝n＋，

∴an＝·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1，

Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]

＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n，①

∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②

由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1，

∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.

………16分

20.（本小题满分16分）

解：（1）因为
所以
，
……… 2分

又
设
图像上任意一点
因为
,

所以切线方程为
…………………… 4分

令
得
； 再令
得
,

故三角形面积
, 即三角形面积为定值.…………… 6分

（2）由
得
，

假设存在
满足题意,则有

化简,得
对定义域内任意
都成立,……… 8分

故只有
解得

所以存在实数
使得
对定义域内的任意
都成立.…11分

（3）由题意知,

因为
且
化简,得
……13分

即
………15分

如图可知,

所以