2016届高三年级第二次四校联考

数学（文）试题

2015.12

命题：康杰中学 临汾一中 忻州一中 长治二中

【满分150分，考试时间为120分钟】

一、选择题(5×12＝60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号. )

1．已知
，
，则

　　A.
　　B.
　　C.
　　D.

2．若复数
满足
，则复数
的虚部为

　　A.
　　　　B.
　　　　　　C.
　　　　　D.

3．已知平面向量
，
满足
，且
，
，则向量
与
夹角的正弦值为

A.
B.
C.
　 D.

4．甲乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为

　　A.
　　　　　B.
　　　　　C.
　　　　　D.

5．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为

　　A. 1 B. 2 　　 C. 3 D. 4

6．已知双曲线

，右焦点
到渐近线的距离为
，
到原点的距离为
，则双曲线
的离心率
为

　　A.
　　　　B.
　　　　C.
　　　　D.

7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

A．28＋6 B．30＋6

C．56＋12 D．60＋12

8．已知数列2008，2009，1，－2008，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和
等于

　　A．1 　　　B．4 018　　　 C．2 010 　　　D．0

9．已知三棱锥
，在底面
中，
，
，
，
，则此三棱锥的外接球的体积为

　　A．
　　B.
　　 C.
　　D.

10. 已知函数
满足：①定义域为
；②
，都有
；③当
时，
，则方程
在区间
内解的个数是

　A．5 B．6 C．7 D．8

11. 已知函数
(其中
是实数)，若
对
恒成立，且
，则
的单调递增区间是

　　A.
　　　 B.

　　C.
　　　 D.

12. 函数
在
上的最大值为
，则实数
的取值范围是

A.
　 B.
　 C.
　　　 D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知
（
），
为
的导函数，
，则

14. 若
满足约束条件
，则
的最大值为

15. 抛物线
的焦点为F，其准线与双曲线
相交于
两点，若△
为等边三角形，则
＝

16. 在
中，角
所对的边分别为
，且
，当
取最大值时，角
的值为

三、解答题（本大题共8小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（本小题满分12分）

已知等比数列
的各项均为正数，
，公比为
；等差数列
中，
，且
的前
项和为
，
.

（Ⅰ）求
与
的通项公式；

（Ⅱ）设数列
满足
，求
的前
项和
.

18．（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱
中，底面是正三角形，点
是
中点，
，
．

（Ⅰ）求三棱锥
的体积;

（Ⅱ）证明：
.

19．（本小题满分12分）

某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：

年份x

2011

2012

2013

2014

2015



储蓄存款y（千亿元）

5

6

7

8

10



为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，
得到下表2：

时间代号t

1

2

3

4

5



z

0

1

2

3

5



（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；

（Ⅱ）通过（Ⅰ）中的方程，求出y关于x的回归方程；

（Ⅲ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？

（附：对于线性回归方程
，其中
）

20．（本小题满分12分）

如图，圆
与
轴相切于点
，与
轴正半轴相交于两点
（点
在点
的下方），且
．

（Ⅰ）求圆
的方程；

（Ⅱ）过点
任作一条直线与椭圆
相交于两点
，连接
，求证：
．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
）.

（Ⅰ）若
，当
时，求
的单调递减区间；

（Ⅱ）若函数
有唯一的零点，求实数
的取值范围.

选做题：请考生从第22、23、24三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

已知

外接圆劣弧
上的点（不与点
、
重合），延长
至
, 延长
交
的延长线于
．

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求证：
．

23.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程

已知曲线
的参数方程为
(
为参数)，以直角坐标系原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线
的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线的极坐标方程为
，求直线被曲线
截得的弦长.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数
的解集为
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，使得
成立，求实数
的取值范围．

 2016届高三四校第二次联考文科数学试题参考答案

一、选择题

ＣＢＤＡＣ　　　ＢＢＣＡＡ　　ＣＤ

二、填空题

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17．解：
设数列
的公差为
，

，
4分

，
， 6分

由题意得：
，

12分.

18. 证明：（Ⅰ）
1分

过
作
,直三棱柱中

面



,

面
,
是高
=
， 3分

,
6分

（Ⅱ）取
的中点E,连接

底面是正三角形,
8分

矩形
中，
中，
,

中，
,

∽
，

,

10分

面
,

12分

19.解：（1）

，

6分

（2）
，代入
得到：

，即
9分

（3）
，

预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 12分

20.解：（Ⅰ）设圆
的半径为
（
），依题意，圆心坐标为
.

∵　
∴　
，解得
． 2分

∴　圆
的方程为
． 4分

（Ⅱ）把
代入方程
，解得
或
，

即点
． 6分

（1）当
轴时，可知
=0．

（2）当
与
轴不垂直时，可设直线
的方程为
．

联立方程
，消去
得，
． 8分

设直线
交椭圆
于
两点，则

，
．

∴
　

若
，即
10分

∵
，

∴
． 12分

21. 解：（1）
定义域为
，

……2分

的单调递减区间是
和
.……4分

（2）问题等价于
有唯一的实根

显然
，则关于x的方程
有唯一的实根 （6分）

构造函数
则

由
得

当
时，
单调递减

当
单调递增

所以
的极小值为
（8分）

如图，作出函数
的大致图像，则要使方程
的唯一的实根，

只需直线
与曲线
有唯一的交点，则
或

解得

故实数a的取值范围是
（12分）

22．解析：
证明：
、
、
、
四点共圆

．

且
,

,

5分

由
得
,又
,

所以
与
相似,

，

又
,　　
，

根据割线定理得
，

． 10分

23．解：
∵曲线
的参数方程为
(α为参数)

∴曲线
的普通方程为

曲线
表示以
为圆心，
为半