眉山市高中2016届第一次诊断性考试

数 学（理工类）

第I卷 （选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，

只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合A={x|-1≤x≤1），集合B={x|x2-2x≤0），则集合A
B =

A. [-1，0] B. [-1，2]

C.[0,1] D.（一∞,1]
[2,+∞）

2．已知i是虚数单位，则复数i(1+i)的共轭复数为

A.1+i B.l-i C.-l+i D.-l-i

3．某单位有职工 750人，其中青年职T 350人，中年职工 250人，老年职工 150人．

为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的

青年职工为7人，则样本容量为

A．15 B．20 C．25 D．30

4.设函数f(x)=3x十bcosx，x∈R，则“b=0”是“函数f(x)为奇函数”的

A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

5.设 a = sin 46°,b=cos46° ,c=tan46°.则

A. c>a>b B. a>b>c C. b>c>a D. c>b>a

6．如图，在△OAB中，点P在边AB上，且AP：PB-3：2．则

=

A．
B．

C．
D．

7．在等比数列{an）中，al =1，公比|q|≠1，若am=a2a5a10，，则m=

A．15 B．16 C．17 D．18

8．从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至

少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有

A．35 B．70 C．80 D．140

9．已知集合A-{1，2，3，4，5，6，7，8，9），在集合A中任取三

个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，

记这个三位数为a，现将组成a的三个数字按从小到大排

成的三位数记为I（a），按从大到小排成的三位数记为

D（a）（例如a= 219，则I（a）=129，D（a）= 921），阅读如图

所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，则输

出b的值为

A. 792 B．693

C．594 D．495

10.已知函数
（k∈N*），若对任意的c>l，存在实数a，b满

足0

A．2 B．3 C．4 D．5

第Ⅱ卷 （非选择题 共1 00分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.若（ax-l)6展开式中x3的系数为20，则a的值为 ．

12.设x，y满足约束条件
则目标函数z=x+y的最大值为____．

13.在长为10 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，

CB的长，则该矩形面积不小于9 cm2的概率为____．

14．已知函数f(x)= sin (2x+
），将y=f(x)的图象向右平移
个单位长度后，得

到函数g(x)的图象，若动直线x=t与函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别交于

M、N两点，则|MN|的最大值为____．

15．已知函数f(x)=
若方程f(x)=a（a∈R）有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或推演

步骤。

16.（本小题满分12分）

已知向量a=(2cosx，1)，向量b=（cosx,
sin 2x），设函数f(x)=a·b，x∈R．

(I)求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)当x∈[
,
]时，求函数f(x)的值域.

17.（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn+2=4an(n∈N*).

(I)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)设bn=log2an，数列{
}的前n项和为Tn，证明：Tn<
．

18.（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，AB= 5
，∠CBD=75°，

∠ABD=30°，∠CAB=45°，∠CAD=60°．

（I）求△ABC的面积S△ABC；

(Ⅱ)求CD的长．

19.（本小题满分12分）

今年冬季，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，对我们的身体健康产

生了巨大的威胁，私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生

活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾

出一份力，为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众

对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将被调查的人数及其中赞成“车辆限

行”的人数按年龄段进行整理后制成下表：

（I）完成被调查人员的频率分布直方图；

(Ⅱ)若从年龄在[15，25），[25，35）的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查，

记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为
，求随机变量
的分布列和数

学期望．

20.（本小题满分13分）

如图，有一块边长为1（百米）的正方形区域ABCD.在点A

处有一个可转动的探照灯，其照射角∠PAQ始终为45°（其

中点P，Q分别在边BC，CD上），设BP=t.

（I）用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为

定值；

(Ⅱ)设探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S（平

方百米），求S的最大值．

21.（本小题满分14分）

已知函数f(x) =lnx，g(x)=ex，其中e是白然对数的底数，e=2. 71828....

(I)若函数
求函数
的单调区间；

(Ⅱ)若x≥0，g(x)≥kf(x+1)+1恒成立，求实数k的取值范围；

(Ⅲ)设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0)处的切线，证明：在区间

(1，+∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切，

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