成都市2016届高三第一次诊断性考试

数学试题(文科)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

2．在
中，“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为

（A）
（B）

（C）
（D）

4．设
，
，
，则a, b, c的大小顺序是

（A）
（B）

（C）
（D）

5．已知
为空间中两条不同的直线，
为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是

（A）若
，则

（B）若
，则

（C）若
，则

（D）若
，则

6．已知实数
满足
，则
的最大值是

（A）2 （B）4 （C）5 （D）6

7．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数
的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

8．已知菱形
边长为2，
，点P满足
，
．若
，则
的值为

（A）
（B）
（C）
（D）

9．已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，若
上存在点
使
为等腰三角形，且其顶角为
，则
的值是

（A）
（B）
（C）
（D）

10．已知函数
.若存在实数
使得函数
的值域为
，则实数
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设复数
满足
（其中
为虚数单位），则
．

甲



乙



4

7

5

8

7

6







9



9

2

4

1



12．已知函数
.若
，则
．

13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为
，
.则

的概率是 ．

14. 已知圆
，过点
的直线
交该圆于
两点，
为坐标原点，则
面积的最大值是 ．

15．某房地产公司要在一块矩形宽阔地面（如图）上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线
的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点
，
．则当能开发的面积达到最大时，
的长为 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知等比数列
的公比
，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
．

17．（本小题满分12分）

有编号为
的9道题，其难度系数如下表：

编号





















难度系数

0.48

0.56

0.52

0.37

0.69

0.47

0.47

0.58

0.50



其中难度系数小于0.50的为难题．

（Ⅰ）从上述9道题中，随机抽取1道，求这道题为难题的概率；

（Ⅱ）从难题中随机抽取2道，求这两道题目难度系数相等的概率．

18．（本小题满分12分）

已知函数
．

（Ⅰ）求函数
取得最大值时
取值的集合；

（Ⅱ）设
，
，
为锐角三角形
的三个内角.若
，
，求
的值．

19．（本小题满分12分）

如图，菱形
与正三角形
的边长均为2，它们所在平面互相垂直，
平面
，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求几何体
的体积．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左右顶点分别为
，
，点
为椭圆上异于
的任意一点.

（Ⅰ）求直线
与
的斜率之积；

（Ⅱ）过点
作与
轴不重合的任意直线交椭圆
于
，
两点.证明：以
为直径的圆恒过点
.

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）当
时，设函数
.若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围．

数学（文科）参考答案及评分意见

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．B； 2．B； 3．C； 4．C； 5．D； 6．D； 7．A； 8．A； 9．D； 10．B．

第II卷（非选择题，共100分）

二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11．
； 12．
； 13．
； 14．
； 15．
．

三、解答题：(本大题共6小题，共75分)

16．解：（Ⅰ）

由题意，得
，

或

……………………6分

（Ⅱ）

.

……………………12分

17．解：（Ⅰ）记“从9道题中，随机抽取1道为难题”为事件
，9道题中难题有
，
，
，
四道.

∴
……………6分

（Ⅱ）记“从难题中随机抽取2道难度系数相等”为事件
，则基本事件为：
，
，
，
，
，
共6个；难题中有且仅有
，
的难度系数相等.

∴
……………12分

18．解：（Ⅰ）

……………………3分

要使
取得最大值，须满足
取得最小值.

……………………5分

当
取得最大值时,
取值的集合为
……………………6分

（Ⅱ）由题意，得

. ………………9分

，

………………12分

19．解：（Ⅰ）如图，过点
作
于
，连接

平面
平面
，
平面

平面