吉林省实验中学2016届高三上学期第四次模拟考试

数学理试题

考试时间：120分钟 试卷满分： 150分

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，

第I卷

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）

1. 设P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x2＜4}，则P∩Q＝(　　)

A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－3＜x＜－1}

C．{x|1＜x＜4} D．{x|－2＜x＜1}

2. 已知复数z满足
为虚数单位），则复数
所对应的点所在象限为 （ ）

A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D．第四象限

3. 若向量a，b满足：(a－b)·(2a＋b)＝－4，且|a|＝2，|b|＝4，则a与b的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

4. “a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5. 设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)

A．3 B．1 C．－1 D．－3

6. 已知sinα＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限的角，那么tanβ的值是(　　)

A.　　　　 B．－ C．7 D．－7

7. 一物体运动时速度与时间的关系为v(t)＝t2－t＋2，物体做直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为(　　)

A.　　　　　B. C. D.

8. 设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的前n项和为Sn，则Sn的值为(　　)

A．2n　　　　B．2n－n C．2n＋1－n D．2n＋1－n－2

9. 若实数x、y满足则 的取值范围是(　　)

A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

10. 将4名研究生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种．

A.18　　　 B.24 C.36 D.48

11. 如图，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B后，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cosθ等于(　　)

A. B．2－ C.－1 D.

12. 已知双曲线
,(a>0,b>0), A1、A2是双曲线实轴的两个端点, MN是垂直于实轴所在直线的弦的两个端点, 则A1M与A2N交点的轨迹方程是( )http://www.xjktyg.com/wxc/

Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/
Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/
Chttp://www.xjktyg.com/wxc/
Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/

第Ⅱ卷

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知数列{an}中，a1＝1，以后各项由公式an＝an－1＋(n≥2)给出，则a4等于

14. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果
.

15．有以下四个命题

①过球面上任意两点只能作球的一个大圆

②球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径

③用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面

④球是与定点的距离等于定长的所有点的集合

则命题中正确的是 （将正确的命题序号填在横线上）

16. 曲线C由＋＝1(y≥0)和－＝1(y≥0)两部分组成，若过点A(0,2)作直线l与曲线C有且仅有两个公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

设函数

（I）求函数
的最小正周期；

（II）设函数
对任意
，有
，且当
时，
，求函数
在
上的解析式。

18．（本小题满分12分）

某公园自行车租赁点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ.

19. （本小题满分12分）

如图的多面体是直平行六面体ABCD－A1B1C1D1经平面AEFG所截后得到的图形，其中∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°.

(1)求证：BD⊥平面ADG；

(2)求平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

20. （本小题满分12分）

已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.

(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．

21. （本小题满分12分）

已知f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g(x)＝，其中e是自然常数，a∈R.

(1)讨论a＝1时，f(x)的单调性、极值；

(2)求证：在(1)的条件下，|f(x)|＞g(x)＋；

(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，联结AE，BE.证明：

(1)∠FEB＝∠CEB；

(2)EF2＝AD·BC.

23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知圆锥曲线C：

为参数）和定点
,
是此圆锥曲线的左、右焦点。

(Ⅰ)以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
的极坐标方程；

(Ⅱ)经过点
，且与直线
垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求
的值.

24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

(1)解不等式|x－1|＋|x－4|≥5.

(2)求函数y＝|x－1|＋|x－4|＋x2－4x的最小值．

2016届高三毕业班第四次模拟考试

数学（理）答案

选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



D

A

C

C

D

D

A

D

D

C

B

A





二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13、
14、9 15、(( 16、

三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤）

17. （本小题满分12分）

解：

，………3分

（I）函数
的最小正周期
………………………5分

（2）当
时，
………………………6分

当
时，

………………8分

当
时，

………………10分

得函数
在
上的解析式为
。 ………………………12分

（本小题满分12分）

解析：　(1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，.…………………2分

记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则P(A)＝×＋×＋×＝. ……………………5分

答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.

(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8. ……………………6分

P(ξ＝0)＝×＝；

P(ξ＝2)＝×＋×＝；

P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；

P(ξ＝6)＝×＋×＝；

P(ξ＝8)＝×＝ .……………………8分

甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为

ξ

0

2

4

6

8



P













 .……………………10分

所以Eξ＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝. .……………………12分

19. （本小题满分12分）

解析　(1)证明：在△BAD中，∵AB＝2AD＝2，∠BAD＝60°，∴由余弦定理可得BD＝. .…2分

∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD. .……………3分

又在直平行六面体中，GD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴GD⊥BD ..…………………4分

又AD∩GD＝D，∴BD⊥平面ADG. .……………………6分

(2)以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz.

.……………………7分

∵∠BAE＝∠GAD＝45°，AB＝2AD＝2，

则有A(1,0,0)，B(0，，0)，G(0,0,1)，E(0，，2)，C(－1，，0)．

∴＝(－1，，2)，＝(－1,0,1)． .……………………8分

设平面AEFG的法向量为n＝(x，y，z)，

故有，令x＝1，得y＝－，z＝1.n＝(1，－，1)．.……………10分

而平面ABCD的一个法向量为＝(0,0,1)，

∴cos〈，n〉＝＝.

故平面AEFG与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为 ..……………………12分

20.（本小题满分12分）

解析　(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x， .………………1分

设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

由得x＝±1， .………………2分

所以|AB|＝|x1－x2|＝2. .………………3分

又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，

所以h＝，S△ABC＝|AB|·h＝2. .………………5分

(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.

由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.

因为A，B在椭圆上，

所以Δ＝－12m2＋64＞0解得－＜m＜. .………………6分

设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

所以|AB|＝|x1－x2|＝. .………………8分

又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.

所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11(－＜m＜)． .………………10分

所以当m＝－1时，AC边最长．

此时AB所在直线的方程为y＝x－1. .………………12分

21. （本小题满分12分）

解析　(1)当a＝1时，f(x)＝x－lnx，f′(x)＝1－＝，

∴当0＜x＜1时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减； .………………1分

当1＜x≤e时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增． .………………2分

∴f(x)的极小值为f(1)＝1. .………………3分

(2)证明：∵f(x)的极小值为1，即f(x)在(0，e]内的最小值为1，∴f(x)＞0，|f(x)|min＝1..………4分

令h(x)＝g(x)＋＝＋，h′(x)＝，

当0＜x＜e时，h′(x)＞0，h(x)在(0，e]内单调递增． .………………5分

∴h(x)max＝h(e)＝＋＜＋＝1＝|f(x)|min， .………………6分

∴在(1)的条件下，|f(x)|＞g(x)＋. .………………7分

(3)假设存在实数a，使f(x)＝ax－lnx(x∈(0，e])有最小值3，f′(x)＝a－＝.

①当a≤0时，f(x)在(0，e]内单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值；.…9分

②当0＜＜e时，f(x)在(0，)内单调递减，在(，e]内单调递增，

f(x)min＝f()＝1＋lna＝3，a＝e2，满足条件； .………………10分

③当≥e时，f(x)在(0，e]内单调递减，f(x)min＝f(e)＝ae－1＝3，a＝(舍去)，此时f(x)无最小值．.…… 11分

综上，存在实数a＝e2，使得当x∈(0，e]时f(x)有最小值3. .………………12分

22. （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

证明：(1)由直线CD与⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB.

由AB为⊙O的直径，得AE⊥EB，从而∠EAB＋∠EBF＝. .………………2分

又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝， .………………4分

从而∠FEB＝∠EAB.

故∠FEB＝∠CEB. .………………5分

(2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共边，

得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. .………………7分

类似可证，Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. .………………9分

又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF，

所以EF2＝AD·BC. .………………10分

23. （本小题满分10分）选修4—