长春外国语学校2015-2016学年上学期高三期末考试

数学（文科）试卷

本试卷分第Ｉ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ｉ卷(选择题 共60分)

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2．已知
是虚数单位，则
＝（ ）

A.
B.
C.
D.

3．已知向量
，
，且
与
共线，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

4．已知函数y=sin4x-cos4x 是一个（ ）

A．周期为
的奇函数　　　B．周期为
的偶函数

C．周期为
的奇函数　　　D．周期为
的偶函数

5．函数
的零点所在的区间为 （ ）

A.
B.
C.
D.

6．下列命题中正确的个数是 （ ）

①命题“任意
”的否定是“任意
；

②命题“若
，则
”的逆否命题是真命题；

③若命题
为真，命题
为真，则命题
且
为真；

④命题”若
，则
”的否命题是“若
，则
”.

A．
个 B．
个 C．
个 D． 4个

7．已知变量
满足：
的最大值为（ ）

A．
B．
C．2 D．4

8．已知椭圆的中心在原点，离心率e=
，且它的一个焦点与抛物线y2= -4x的焦点重合，则此椭圆方程为( )

A．
B．
C．
D．

9．两个正实数
满足
，且
恒成立，则实数m的取值范围（ ）

A.
B.
C.
D.

10． 函数
的图象大致为( )

11．已知直线
与圆
交于
两点，且
（其中
为坐标原点），则实数
的值为（ ）

A．
B．
C．
或
D．
或

12．记
，其中
为自然对数的底数，则
这三个数的大小关系是（　　　）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题 (本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 双曲线
的离心率为 ．

14. 已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则
．

15．已知点
满足
，过点
的直线与圆
相交于
，
两点，则
的最小值为 ．

16. 已知数列
满足
，
（
），则
的最小值为 ．

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）

17．（本题满分10分）如图
中，已知点
在
边上，且
，
，
，
．

（1）求
的长；

（2）求
．

18. (本题满分12分)已知数列
是公差大于零的等差数列，数列
为等比数列，且
.

（1）求数列
和
的通项公式；

（2）设
，求数列
前
项和
．

（本小题满分12分）已知直线
：
，圆C：
.

试证明：不论
为任何实数，直线
与圆C总有两个交点；

求直线
被圆C截得的最短弦长.

（本小题满分12分）将函数
图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移
个单位长度得到 y ＝sin x的图像.

求函数 f (x)的解析式；

求函数 f (x)的单调增区间；

（3）当
时，方程 f (x) ＝m有唯一实数根，求m的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数
.

（1）若函数
的图象在
处的切线斜率为
，求实数
的值；

（2）在（1）的条件下，求函数
的单调区间；

（3）若函数
在
上是减函数，求实数
的取值范围.

22．（本小题满分12分）设
是椭圆
＞
＞
上的两点，向量

，且
，椭圆离心率
，短轴长为
，
为坐标原点.

（1）求椭圆方程；

（2）若存在斜率为
的直线
过椭圆的焦点
（
为半焦距），求
的值；

（3）
的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.

数学文科参考答案

选择题

CBDBC ADADA DC

填空题

13、
14、1 15、
16、

三、解答题

17.（1）在
中，由余弦定理可知，

即
，解之得
或
，由于
，所以
．

因为
，即

18.

19.答案方法不唯一，

（1）

消去y，得

恒成立，所以不论k为任何实数，直线l和圆C总有两个交点；

（2）
直线l恒过圆内定点P(0,1)

由平面几何的知识可得当P点为弦AB的中点时弦长最短。

由勾股定理知，

即直线l被圆C截的最短弦长为

20.

·

21.（1）

由已知
，解得
.

（2）函数
的定义域为
.
.

当
变化时，
的变化情况如下











-



+







极小值







由上表可知，函数
的单调递减区间是
；单调递增区间是
.

（3）由
得
，

由已知函数
为
上的单调减函数，

则
在
上恒成立，即
在
上恒成立.

即
在
上恒成立. 令
，

在
上
，

所以
在
为减函数.

,所以
.

22题.

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