成都市高2016届高三第一次诊断考试

数学试题(理科)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合
，
，则

（A）
（B）
（C）
（D）

2．在
中，“
”是“
”的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

3．如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则剩余部分与挖去部分的体积之比为

（A）
（B）

（C）
（D）

4．设
，
，
，则a, b, c的大小顺序是

（A）
（B）

（C）
（D）

5．已知
为空间中两条不同的直线，
为空间中两个不同的平面，下列命题中正确的是

（A）若
，则

（B）若
，则

（C）若
，则

（D）若
，则

6．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数
的最大值为

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

7．已知菱形
边长为2，
，点P满足
，
．若
，则
的值为

（A）
（B）

（C）
（D）

8．过双曲线
的左顶点
作斜率为1的直线，该直线与双曲线两条渐近线的交点分别为
.若
，则此双曲线的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

9．设不等式组
表示的平面区域为
.若指数函数
且
的图象经过区域
上的点，则
的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

10．如果数列
中任意连续三项奇数项与连续三项偶数项均能构成一个三角形的边长，则称
为“亚三角形”数列；对于“亚三角形”数列
，如果函数
使得
仍为一个“亚三角形”数列，则称
是数列
的一个“保亚三角形函数”（
）.记数列
的前
项和为
，
，且
，若
是数列
的“保亚三角形函数”，则
的项数
的最大值为

（参考数据：
，
）

（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11．设复数
满足
（其中
为虚数单位），则
．

甲



乙



4

7

5

8

7

6







9



9

2

4

1



12．
的展开式中，
的系数是 ．

13．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲，乙的平均成绩分别为
，
，则

的概率是 ．

14．如图，某房地产公司要在一块矩形宽阔地面上开发物业 ，阴影部分是不能开发的古建筑群，且要求用在一条直线上的栏栅进行隔离，古建筑群的边界为曲线
的一部分，栏栅与矩形区域边界交于点
，
．则
面积的最小值为 ．

15．已知函数
.若存在
使得函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知等比数列
的公比
，且
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，求数列
的前
项和
．

17．（本小题满分12分）

某类题库中有9道题，其中5道甲类题，每题10分，4道乙类题，每题5分．现从中任意选取三道题组成问卷，记随机变量
为此问卷的总分．

（Ⅰ）求
的分布列；

（Ⅱ）求
的数学期望
．

18．（本小题满分12分）

已知向量m
，n
，设函数
．

（Ⅰ）求函数
取得最大值时
取值的集合；

（Ⅱ）设
，
，
为锐角三角形
的三个内角.若
，
，求
的值．

19．（本小题满分12分）

如图，菱形
与正三角形
的边长均为2，它们所在平面互相垂直，
平面
，且
．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
，求二面角
的余弦值．

20．（本小题满分13分）

已知椭圆
的左右顶点分别为
，
，点
为椭圆上异于
的任意一点.

（Ⅰ）求直线
与
的斜率之积；

（Ⅱ）设
，过点
作与
轴不重合的任意直线交椭圆
于
，
两点.则是否存在实数
，使得以
为直径的圆恒过点
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）

已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调递减区间；

（Ⅱ）当
时，设函数
.若存在区间
，使得函数
在
上的值域为
，求实数
的取值范围．

数学（理科）参考答案及评分意见

第I卷（选择题，共50分）

一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1.B； 2.B； 3.C； 4.C； 5.D； 6.A； 7.A； 8.B； 9.D； 10.A.

第II卷（非选择题，共100分）

二．填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

11.
； 12.
； 13.
; 14.
； 15.
.

三、解答题：(本大题共6小题，共75分)

16．解：（Ⅰ）

由题意，得
，

或

……………………6分

（Ⅱ）

.

……………………12分

17．解：（Ⅰ）由题意，
的所有可能取值为15，20，25，30.

∵
，

，

∴
的分布列为：

15

20

25

30















 ………………7分

（Ⅱ）


………………12分

18.解：（Ⅰ）

……………………3分

要使
取得最大值，须满足
取得最小值.