吉林省实验中学2016届高三年级第五次模拟考试

数学（理）试卷

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）

（1）已知复数
的实部为-1，则复数
在复平面上对应的点在

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（2）已知向量
,且
，则向量
与
的夹角为

（A）
（B）
（C）
（D）

（3）设随机变量
服从正态分布
，若
，则
=

(A) 2 (B) 3 (C) 9 (D) 1

（4）已知在等比数列
中，
，
9，则

(A)
(B) 5 (C)
(D) 3

（5）已知条件p：
；条件q：
，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是

（A）
（B）
（C）
（D）

已知
表示两条不同直线，
表示三个不同平面，给出下列命题：

①若
则
；

②若
，
垂直于
内的任意一条直线，则
；

③若

则
；

④若
不垂直于平面
，则
不可能垂直于平面
内的无数条直线；

⑤若
∥
,则
∥
.

上述五个命题中，正确命题的个数是（ ）个

（A）5 （B）4 （C）3 （D）2

（7）函数
的图象大致为

（8）要得到函数
的图象，只需将
的图象

（A）向右平移
个单位 （B）向左平移
个单位

（C）向右平移
个单位 （D）向左平移
个单位

（9）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，

则这个四棱锥的体积是

(A)
（B）
（C）
（D）

(10)若直线
与曲线

相交于A、B两点，则直线l的倾斜角的取值范围是

(A)
（B）

（C）
（D）

(11)已知定义在
上的函数
,
为其导数，且
恒成立，则

（B）

（C）
（D）

(12)设函数
，若对任意给定的
，都存在唯一的
，满足
，则正实数
的取值范围是

(A)
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)

（13）如果实数x、y满足关系
，则
的最小值是 .

（14）设
，若
，则
的最小值为 .

(15)阅读如图所示程序框图，若输出的
，则满足条件的整数
共有 个.

（16）若从区间
内随机取两个数，则这两个数之积不小于
的概率为 .

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

（17）（本小题满分12分）

已知
,其中
,
,
.

（Ⅰ）求
的单调递减区间；

（Ⅱ）在
中,角
所对的边分别为
,
,
, 且向量
与
共线，求边长
和
的值.

(18)（本小题满分12分）

甲、乙、丙三班进行知识竞赛，每两班比赛一场，共赛三场．每场比赛胜者得
分，负者得
分，没有平局，在每一场比赛中，甲班胜乙班的概率为
，甲班胜丙班的概率为
，乙班胜丙班的概率为
．

（Ⅰ）求甲班获第一名且丙班获第二名的概率；

（Ⅱ）设在该次比赛中，甲班得分为
，求
的分布列和数学期望．

（19）（本小题满分12分）

如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且
，
且
∥
.

（Ⅰ）设点
为棱
中点，求证：
平面
；

（Ⅱ）线段
上是否存在一点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值等于
？若存在，试确定点
的位置；若不存在，请说明理由．

（20）（本小题满分12分）

已知直线
与椭圆

相交于
、
两点．

（Ⅰ）若椭圆的离心率为
，焦距为
，求线段
的长；

（Ⅱ）若向量
与向量
互相垂直（其中
为坐标原点），当椭圆的离心率
时，求椭圆长轴长的最大值．

（21）（本小题满分12分）

已知函数
（
）．

（Ⅰ）讨论
的单调性；

（Ⅱ）若
对任意
恒成立，求实数
的取值范围（
为自然常数）；

（Ⅲ）求证:
（
，
）．

请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，

做答时请写清题号.

（22）（本小题满分10分）选修
：几何证明选讲

如图，圆内接四边形
的边
与
的延长线交于点
，点
在
的延长线上．

（Ⅰ）若
，求
的值；

（Ⅱ）若
，证明：
．

（23）（本小题满分10分）选修
；坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），若以原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆
的极坐标方程为
，设
是圆
上任一点，连结
并延长到
，使
．

（Ⅰ）求点
轨迹的直角坐标方程；

（Ⅱ）若直线
与点
轨迹相交于
两点，点
的直角坐标为
，求
的值．

（24）（本小题满分10分）选修
：不等式选讲

已知函数
，且
恒成立.

（Ⅰ）求实数
的最大值；

（Ⅱ）当
取最大值时，求不等式
的解集.

吉林省实验中学2016届高三年级第五次模拟考试数学（理）试卷答案

一、选择题（本大题共12道题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

B

A

D

C

D

D

A

B

B

C

A



二、填空题（本大题共4道题，每小题5分，共20分）

13．
14．
15． 32 16．

三、解答题

17．（本小题满分12分）

(1) 由题意知
.

在
上单调递减，

令
，得

的单调递减区间
-----6分

(2)
，
,又
，

即

，由余弦定理得
=7.

因为向量
与
共线，所以
，由正弦定理得
.
. ------12分

18．（本小题满分12分）

解：（1）甲获第一，则甲胜乙且甲胜丙，

∴甲获第一的概率为
……………2分

丙获第二，则丙胜乙，其概率为
…………4分

∴甲获第一名且丙获第二名的概率为
……………6分

（2）ξ可能取的值为O、3、6 …………………………7分

甲两场比赛皆输的概率为
………………8分

甲两场只胜一场的概率为
…………9分

甲两场皆胜的概率为
……………10分

∴ξ的分布列为

ξ

0

3

6



P










…………l2分

19．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：（方法一）由已知，平面
平面
，且
，则
平面
，所以

两两垂直，故以
为原点，
分别为
轴，
轴，
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………1分

则
,

所以
，

易知平面
的一个法向量等于
，………3分

所以
,

所以
， 4分

又

平面
，

所以
∥平面
． 5分

（方法二）由三视图知，
两两垂直．

连结
，其交点记为
，连结
,
． 1分

因为四边形
为矩形，

所以
为
中点．因为
为
中点，

所以
∥
，且
．………………………2分

又因为
∥
，且
，

所以
∥
, 且
=
．

所以四边形
是平行四边形，

所以
∥
………………………………………4分

因为

平面
，
平面

所以
∥平面
． 5分

（Ⅱ）解：当点
与点
重合时，直线
与平面
所成角的正弦值为