吉林省实验中学2016届高三年级第五模拟次考试

数学试卷（文科）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
满足

为虚数单位），则

A．
　　　　　　　B．
　　　　　　　C．
　　　　　　D．

3．下列有关命题的说法中，正确的是

A．
，使得

B．
，

C．“
”是“
”的必要不充分条件

D． “
”是“
”的充分不必要条件

4．过点
，且在
轴上的截距是在
轴上的截距的
倍的直线方程是

A.
B.
或

C.
D.
或

5. 已知
，函数
在
上单调递减．则
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

6．抛物线
上的点
到直线
的距离等于4，则
到焦点
的距

A．1　　　　 B．2　　　　 　C．3　　　 D．4

7.若椭圆
和双曲线
有共同焦点
，
是两曲线的一个交点，则
的值为

3 B.
C.21 D.84

8.若点
满足线性约束条件
，点
，
为坐标原点则
的最大值为

0 B.3 C.6 D.8

9.已知
，
，
满足
，则

A．
B．
C．
D．

10.已知直线
与圆
相交于A,B两点，且
为等腰直角三角形，则实数a的值为

A. 1 B.
C.
D.

11.已知函数
则

A.
B.
C. 1 D.

12. 已知偶函数
满足
，且当
时，
，则关于
的方程
在
上根的个数是

A.10个 B.8个 C.6个 D. 4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.已知双曲线
的离心率为2，它的一个焦点与抛物线
的焦点相同，那么该双曲线的渐近线方程为_________.

14.若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
的最小距离为

15．已知P是抛物线
上的一个动点，则P到直线
：
和
：
的距离之和的最小值是

16. 对于下列命题：其中所有真命题的序号是 ____ .

函数
在区间
内有零点的充分不必要条件是
；

②已知
是空间四点，命题甲：
四点不共面，命题乙：直线
和
不相交，则甲是乙成立的充分不必要条件；

③“
”是“对任意的实数
，
恒成立”的充要条件；

④“
”是“方程
表示双曲线”的充分必要条件．

⑤

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17.（本小题满分12分）

已知向量

，函数
，直线
是函数
的图像的任意两条对称轴，且
的最小值为
.

（I）求
的值； （II）求函数
的单调增区间；

（III）若
，求
的值.

18. （本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，
，
，Q是AD的中点.

（I）求证：平面
底面ABCD；

（II）求三棱锥
的体积.

19. （本小题满分12分）已知曲线Γ上的点到
的距离比它到直线
的距离小2，过
的直线交曲线Γ于
两点。

（1）求曲线Γ的方程；

（2）若
，求直线
的斜率；

（3）设点
在线段
上运动，原点
关于点
的对称点为
，求四边形
面积的最小值。

20. （本小题满分12分）已知椭圆
上的左、右顶点分别为
，
，
为左焦点，且
，又椭圆
过点
．

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）点
和
分别在椭圆
和圆
上（点
除外），设直线
,
的斜率分别为
,
，若
，证明：
,
,
三点共线．

21. （本小题满分12分）

已知函数
,
，（
，
为常数）．

（Ⅰ）若
在
处的切线过点
，求
的值；

（Ⅱ）设函数
的导函数为
，若关于
的方程
有唯一解，求实数
的取值范围；

（Ⅲ）令
，若函数
存在极值，且所有极值之和大于
，求实数
的取值范围．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．

22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

（1）如图，已知AD为圆O的直径，直线BA与圆O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相交于点G，与弧AC相交于M，连结DC，AB＝10，AC＝12．

（I）求证：BA·DC＝GC·AD（II）求BM的长．

23. （本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程选讲】

在直角坐标系中，以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立坐标系。已知曲线
，过点
的直线
的参数方程为
（
是参数），直线
与曲线
分别交于
两点。

（1）写出直线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程；

（2）若
成等比数列，求
的值。

24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数
.

若
，
，证明：
；

若
，求a的取值范围.

吉林省实验中学2016届高三年级第五模拟次考试

数学试卷答案（文科）

一．CCDDB CCCAD BC

二．13
14
15 3 16 ①②④

三．17：（1）

4分

（2）
增区间：

8分

（3）

19（1）
4分

（2）
4分

（3）4

20：解：（Ⅰ）由已知可得
，
，又
，解得
.

故所求椭圆
的方程为
． 4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
.设
，
，

所以
.因为
在椭圆
上，

所以
，即
.所以
.

又因为
，所以
. （1）

由已知点
在圆
上，
为圆的直径，

所以
.所以
. （2）

由(1)（2）可得
．因为直线
，
有共同点
，

所以
，
，
三点共线． …………………………12分

21解：（Ⅰ）设
在
处的切线方程为
，

因为
，

所以
，故切线方程为
.

当
时，
，将
代入
，得
． …………3分

（Ⅱ）
，由题意得方程
有唯一解，

即方程
有唯一解．

令
，则
，

所以
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.

又
，故实数
的取值范围是
． …………………………7分

（Ⅲ）
所以
.

因为
存在极值，所以
在
上有根，

即方程
在
上有根，则有
.

显然当
时，
无极值，不合题意；

所以方程必有两个不等正根．记方程
的两根为
，则

,

解得
，满足
.又
，即
，

故所求
的取值范围是
． ……………12分

22. 证明：（I）连结BC，则BC＝BA，且BC为⊙O的切线，在△BCG和△ACD中，∠ACD＝∠BGC＝90°，

∠BCG＝∠ADC ∴△BCG∽ACD∴BC：AD＝CG：DC∴BC·DC＝GC·AD即BA·DC＝GC·AD

（II）∵AC＝12，∴AG＝6∵AB＝10，∴在直角三角形OAB中，GB＝8

由AG2＝OG·GB，可知OG＝
，∴OM＝OA＝
，∴OB＝
∴BM＝OB－OM＝5

23：（1）

（2）

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