启慧·全国大联考十二月联考试卷

2016届高三 数学(理科)试卷

时间:12月8日下午14 : 30—16 : 30

考生注意：

1、本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。满分150分，答题时间120分钟，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题(本大题共12小题.每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1、已知i为虚数单位，复数z满足
，则
=（ ）

A、
B、
C、
D、 2

2、已知集合A，B是非空集合且A
B，则下列说法错误的是( )

A、
B、

C、
D、

3、执行如图所示的程序框图，则输出S的值为( )

A、
B、
C、0 D、

4、已知命题P：在三角形ABC中，若A>B，则sinA> sinB；命题Q：若随机变量X服从正态分布N(1，
)，且X在((0，1)内取值的概率为0.4，则X在((0，2)内取值的概率为0. 8，下列命题中正确的是( )

A、
B、
C、
D、

5、已知
，则
的值等于（ ）

A、
B、
C、
D、

6、已知函数
对定义域内的任意x都满足
，数列{
}是公比不为1的正项等比数列，且
，则
=( )

A、10 B、100 C、125 D、5

7、气象台预计未来一周((7天)内有3天下雨，那么连续3天下雨的概率为( )

A、
B、
C、
D、

8、如图，若
是长方体ABCD -A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH//A1D1，则下列结论中错误的是( )

A、EH// FG

B、四边形EFGH是矩形

C、
是棱柱

D、四边形EFGH是梯形

9、三角形ABC中，B=45°，c=
，面积S=1，则
=（ ）

A、1 B、2 C、2
D、2+2

10、抛物线
(p>0)的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足
AFB=
。设线段AB的中点M在l上的投影为N，则
的最大值是( )

A、
B、
C、
D、

11、圆O的直径为BC，点A是圆周上异于B，C的一点，且
，若点P是圆O所在平面内的一点，且
，则
的最大值为（ ）。

A、2
B、9 C、76 D、81

12、函数
是定义在(0，
)上的单调函数，
，则方程
(其中e为自然对数的底数)的解所在的区间是( )

A、(0，
) B、（
，1） C、(1，2) D、 (2，3)

第II卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)

13、已知二项式
的展开式中所有系数之和为32，则展开式中含x项的系数是 。

14、如图，一个几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，且直角边长为2，则这个几何体的外接球的表面积为 。

15、在数学发展史上曾经发生过几次危机，由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了长达两千多年的数学史上的第一次大危机；所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足M
N=Q，M
N=
，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为戴德金分割；对于任一戴德金分割(M.，N)，给出下面几个结论:

(1)M没有最大元素，N有一个最小元素 (2)M没有最大元素，N也没有最小元素

(3)M有一个最大元素，N有一个最小元素 (4)M没有最小元素，N没有最大元素

则所有正确的结论的序号是 。

16、已知实数a，b满足
，则a+b的取值范围是 。

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤)

17、(满分12分)已知数列{
}的前n项和Sn满足：
，数列{
}满足：对任意
有
。

(1)求数列{
}与数列{
}的通项公式；

(2)记
，数列{
}的前n项和为Tn，若
，求n的取值范围。

18、(满分12分)为调查某社区年轻人的周末生活状况，研究这一社区年轻人在周末的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区年轻人80人，得到下面的数据表:

休闲方式

性别

逛街

上网

合计



男

1O

5O

6O



女

1O

1O

2O



合计

20

6O

8O



(I)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的年轻男性，设调查的3人在这一时间段以上网为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；

(II)根据以上数据，能否有99%的把握认为“周末年轻人的休闲方式与性别有关系”?

参考公式：
其中，
.

参考数据：

P(
)

0 .15

0 .10

0 .05

0 .025

0 .010





2 .072

2 .706

3 .841

5 .024

6 .635





19、(满分12分)如图，AC是圆O的直径，B，D是圆O上两点，AC=2BC=2CD=2，PA与圆O所在的平面垂直，M是线段BP上靠近B点的一个三等分点。

(1)求证：CM平行于平面PAD；

(2)若CM与平面PAC所成角的正弦值为时
，求AP的值。

20、(满分12分)椭圆C的方程为
(a>b>0)，F1，F2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C过点（0，1），且离心率
。

(I)求椭圆C的方程；

(II)如图，设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l的方程为x=4，P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线PA，PB分别交直线l于D，E两点，求
的值；

(III)过点Q(1，0)任意作直线m(与x轴不垂直)与椭圆C交于M、N两点，与l交于R点，
。求证：4x+4y+5=0。

21、(满分12分)已知函数
，其中a
R.(e
2. 718)。

(1)若函数
有极值1，求a的值；

(2)若函数
在区间(0，1)上为减函数，求a的取值范围；

(3)证明：
。

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。

22、(满分10分)选修4一1几何证明选讲

自圆O外一点P引圆O的两条割线PAB和PDC，如图所示，其中割线PDC过圆心O，AB=
OA，PD=
，
P=15°。

(1)求
C的大小；

(2)分别求线段BC和PA的长度。

23、(满分10分)选修4一4：极坐标与参数方程

已知圆的极坐标方程为：
。

(1)将极坐标方程化为普通方程；

(2)若点P(
)在该圆上，求
的最大值和最小值。

24、(满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数
。

(I)当a=2时，解不等式
；

(II)若
的解集为[0，2]，
，求证：
。

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