吉林省实验中学2016届高三上学期第四次模拟考试

数学文试题

考试时间：120分钟 试卷满分：150分

第I卷

选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

符合题目要求的．

1．已知全集
,集合
,
,则
＝ ( )

A.
B.
C.
D.

2．已知
是虚数单位，则
= ( )

A .
　　 　B.
　 C.
D .

3．若条件
，条件
，且
的充分不必要条件，则
的取值范

围 ( )

A．
B．
C．
D．

4.下列关系式中正确的是 （ ）

A．
B．

C．
D．

5．
( )

A．2 B．
C．3 D．

已知x，y满足约束条件
，则z=-2x+y的最大值是 ( )

A .-1 B.-2 C.-5 D.1

7．若
，且
，
，
，则
大小关系为

A.
B.
C.
D.

8．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 (　 　)

A. B. C．5 D．6

9. e1、e2是不共线的向量，a＝e1＋ke2，b＝ke1＋e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于 （　 ）

A．0 B．－1 C．－2 D．±1

10.将函数y＝sin(6x＋)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是 (　 　)

A．(，0) B．(，0) C．(，0) D．(，0)

11．已知函数
的导函数图象如图所示，若
为锐角三角形，则下列结论一定成立的是 ( )

A．
B．

C.
D．

12．已知直线
与函数
的图象恰有四个公共点
，
，
，
．其中
，则有 ( )

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题--第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13.
处的切线方程

14．
的单调递增区间 ．

15.边长为1的正方形
中，
为
的中点，则

16．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；

②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；

③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点；

④把函数y＝3sin(2x＋)的图像向右平移得到y＝3sin2x的图像；

⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本题满分12分)在
中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c

已知
．

（Ⅰ）求
的值； （Ⅱ）若cosB=
，b=2，
的面积S。

18．(本题满分12分)已知单调递增的等比数列
满足：
，且

是
和
的等差中项．

（Ⅰ）求数列
的通项公式
；

（Ⅱ） 令
，
，求使
成立的最小

的正整数
．

19.(本题满分12分)已知函数

（Ⅰ）求函数
的最小正周期;

（Ⅱ）求函数
的最大值及
取最大值时x的集合；

（Ⅲ）求函数
单调递增区间。

20(本题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1＝2，D为AB的中点，且CD⊥DA1.

（Ⅰ）求证：BB1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求证：BC1∥平面CA1D；

（Ⅲ）求三棱锥B1－A1DC的体积．

　

21．（本小题满分12分）已知函数
．

（Ⅰ）当
时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）设函数
，求函数h（x）的单调区间；

（Ⅲ）若
，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求
的取值范围．

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如

果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方

框涂黑。

22（本小题满分10分）.如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，

且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.

（Ⅰ）求证：四边形ACBE为平行四边形；

（Ⅱ）若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．

23（本小题满分10分）已知直线l的参数方程为(t为参数)，

以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

ρ＝2sinθ－2cosθ.

（Ⅰ）求曲线C的参数方程；

（Ⅱ）当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．

24．（本小题满分10分）设函数f(x)＝|x－1|＋|x－3|.

（Ⅰ）求不等式f(x)>2的解集；

（Ⅱ）若不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空，求实数a的取值范围．

吉林省实验中学2015-2016届高三年级第四次模拟考试

数学试卷（文科）答案

，
，

二、填空题：

13.
14单调递增区间

15.

16．　①④

三、．

17．略

(1) 设
的公比为
，由已知，得

，

∴　
；

(2)
，

　　　设　
　………………………　①

　　　则　
　………　②

①－②　得　

∴　
故　
　

∴　
，　即
，　

∴　满足不等式的最小的正整数
为5．

19.略

20解析　(1)证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，

∴CD⊥AB.

又∵CD⊥DA1，

∴CD⊥平面ABB1A1.

∴CD⊥BB1.

又BB1⊥AB，AB∩CD＝D，

∴BB1⊥平面ABC.

(2)证明：连接BC1，连接AC1交CA1于E，连接DE，易知E是AC1的中点．

又D是AB的中点，则DE∥BC1.

又DE?平面CA1D，BC1?平面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D.

(3)由(1)知CD⊥平面AA1B1B，

故CD是三棱锥C－A1B1D的高．

在Rt△ACB中，AC＝BC＝2，

∴AB＝2，CD＝.又BB1＝2，

∴VB1－A1DC＝VC－A1B1D＝S△A1B1D·CD＝A1B1×B1B×CD＝×2×2×＝.

21. 解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），

∴
，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，

∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．

（Ⅱ）
，定义域为（0，+∞），
，

①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，

∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．

②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，

综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．

当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．

（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，

即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，

即函数
在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．

由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，

∴
，∴
，∵
，∴
；

②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，

∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，

③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，

∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2

此时不存在x0使h（x0）≤0成立．

综上可得所求a的范围是：
或a≤﹣2．

22．

解析　(1)证明：因为AE与圆相切于点A，

所以∠BAE＝∠ACB.

因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.

所以∠ABC＝∠BAE.

所以AE∥BC.

因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．

(2)因为AE与圆相切于点A，

所以AE2＝EB·(EB＋BD)．

即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.

根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.

设CF＝x，由BD∥AC，得＝.

即＝，解得x＝，即CF＝.

23．解析　(1)由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.

所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，

标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.

曲线C的极坐标方程化为参数方程为(φ为参数)．

(2)当α＝时，直线l的方程为化成普通方程为y＝x＋2.

由解得或

所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2，)，(2，π)．

24．答案　(1)(－∞，)∪(3，＋∞)(2)(－∞，－)∪[，＋∞)

解析　(1)原不等式等价于或或

解得不等式的解集为(－∞，)∪(3，＋∞)．

(2)f(x)＝|x－1|＋|x－3|＝
f(x)图像如图所示，其中A(1,1)，B(3,2)，直线y＝a(x＋)绕点(－，0)旋转，

由图可得不等式f(x)≤a(x＋)的解集非空时，a的取值范围为(－∞，－)∪[，＋∞)．

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