试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：吴普林 审题人：刘媛媛

注意事项：

1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上；

2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；

3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

第Ⅰ卷（客观题60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

已知集合
，则实数
的取值范围是

（A）
（B）

（C）
（D）

若
三个数成等差数列，则直线
必经过定点

（A）(1，－2) （B）(1，2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)

函数
的零点个数是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

已知圆
是过点
的直线，则

（A）
与
相交 （B）
与
相切

（C）
与
相离 （D）以上三个选项均有可能

函数
的图象如图所示，则
的解析式及
的值分别为

（A）

（B）

（C）

（D）

直线
，则ab
1是
∥
的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件　 （D）既不充分也不必要条件

设二元一次不等式组
所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a ≠ 1)的图象过区域M的a的取值范围是

（A）[1，3] （B）[2，
]

（C）[2，9] （D）[
，9]

若函数
在
上既是奇函数，又是减函数，则
的图象是

（A） （B） （C） （D）

已知
，
，
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

若
均为单位向量，且
，

，则
的最大值为

（A）1 （B）2

（C）3 （D）4

已知正项数列
的前
项和为
，若
和
都是等差数列，且公差相等，则

（A）
（B）

（C）
（D）

关于函数
，有下列四个结论，其中正确结论的个数为

（A）
是奇函数 （B）
的最小值是

（C）
的最大值是
（D）当
时，
恒成立

第Ⅱ卷（主观题90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且
，则
________．

设函数f (x)＝
(x＞0)，观察：f 1(x)＝f (x)＝
， f 2(x)＝f (f 1(x))＝
，

f 3(x)＝f (f 2(x))＝
，f 4(x)＝f (f 3(x))＝
……，根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*，n≥2时，fn(x)＝f (fn－1(x))＝ .

甲船在岛
的正南方
处，
千米，甲船以每小时
千米的速度向正北航行，同时乙船自
出发以每小时
千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是　　　　　　小时.

过点(
，0)引直线l与曲线y＝
相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于　　　　　.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（本题满分12分）

设
的内角
所对的边长分别为
，且
，
．

（Ⅰ）求
及边长
的值；

（Ⅱ）若
的面积
，求
的周长
．

.

（本题满分12分）

设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f (x)＝2x的图象上(n∈N*)．

（Ⅰ）证明：数列{bn}为等比数列；

（Ⅱ）若a1＝1，直线y＝(
ln2)(x－a2)＋
在x轴上的截距为2－，求数列{anb}的前n项和Sn.

（本题满分12分）

如图1，在直角梯形ABCD中，
，
，
，
，将
沿
折起，使平面

平面
，得到三棱锥
，如图2所示．

(Ⅰ)求证:
平面
；

(Ⅱ)求点
到平面
的距离．

　　　　　　　　　　　　　　
　　

（本题满分12分）

已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点
的距离减去它到y轴距离的差都是
.点A，B在曲线C上且位于x轴的两侧，
＝2(其中O为坐标原点).

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）证明：直线AB恒过定点.

（本题满分12分）

已知函数f (x)＝x2－ax3(a＞0)，x∈R .

（Ⅰ）求f (x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）若对于任意的x1∈(2，＋∞)，都存在x2∈(1，＋∞)，使得f (x1)·f (x2)＝1，求a的取值范围．

请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清楚题号。

（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，直线
经过
上的点
，并且

交直线
于
，连结

（Ⅰ）证明：直线
是
的切线；

（Ⅱ）若
，
的半径为3，求
的长.

（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，设倾斜角为
的直线
：
，（
为参数）与曲线
，（
为参数）相交于不同两点
、
．

(Ⅰ)若
，求线段
中点
的坐标；

(Ⅱ)若
，其中
，求直线
的斜率．

（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
.

（Ⅰ）若不等式
的解集为空集，求实数
的取值范围；

（Ⅱ）若
且
，求证：
.

吉大附中高中部2015-2016学年上学期

高三年级第四次摸底考试数学（文科）参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

B

A

C

B

C

A

C

B

A

B



提示：

（10）∵
，
，∴
，

∴
，∴
.

（11）设
，则
，

∵公差相等，∴
∴
，∴
，∴
.

（12）对于A，
是偶函数，显然不对.

对于B，C，
，其中
，

而
，
，∴
，并且可知
时，
，故B对，C错.

对于D，当
时，存在
，则
，故错误.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

（13）
（14）
（15）
（16）

提示：

（16）曲线y＝
的图象如图所示：

若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，

设l：y＝
，则点O到l的距离
.

又S△AOB＝
|AB|·d＝
，

当且仅当1－d2＝d2，即d2＝
时，S△AOB取得最大值．

所以
，∴
，∴
.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）由
，
，∴
，

由正弦定理，得
，

∵
，∴
，

∴
，∴
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

又
，∴
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……6分

（Ⅱ）由
，得到
．　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

由
，∴
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　……10分

∴
，即
的周长为
.　　　　　　　 　……12分

（18）（本题满分12分）

解析：（Ⅰ）由已知得，bn＝
＞0，

当n≥1时，＝
＝
，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

∵数列{an}的公差为d，∴＝2d. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　……4分

故数列{bn}是首项为2a1，公比为2d的等比数列．　　　　　　　　　　　 ……5分

（Ⅱ）直线y＝(
ln2)(x－a2)＋
在x轴上的截距为a2－，　　　　　 ……6分

由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2，

所以d＝a2－a1＝1，an＝n，bn＝2n，anb＝n·4n. ……8分

于是，Sn＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，

4Sn＝1×42＋2×43＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，

因此，Sn－4Sn＝4＋42＋…＋4n－n·4n＋1＝－n·4n＋1

＝，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……11分

所以，Sn＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　……12分

（19）（本题满分12分）

解析:（Ⅰ）在图1中,可得
，∴
．∴
．……2分

取线段
的中点
，连接
，∵
，∴
．　　　　　　　　 ……3分

又∵平面

平面
，平面

平面

，
平面
，

∴
平面
．

∴
． ……5分

∵
，∴
平面
． ……6分

(Ⅱ)设点
到平面
的距离为
．

由（Ⅰ）可知
平面
，∴
．

由已知得
，∴
平面
．∴
． ……8分

∴

．