北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（文史类） 2016.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.已知集合
，则
=

A．
B．
C．
D．

2. 下列函数中，既是奇函数又存在零点的是

A．
B．
C．
D．

3. 执行如图所示的程序框图，则输出的
值为

A．
B．
C．
D．

第3题图

4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有

A．
辆 B．
辆

C．
辆 D．
辆

4

第 4题图

5. 已知m，n表示两条不同的直线，
表示两个不同的平面，且
,则下列说法正确的是

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

6.设斜率为2的直线
过抛物线
的焦点F,且与
轴交于点
,若
（
为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为

A.
B.
C.
D.

7. 已知
为圆
(
)上两个不同的点（
为圆心），且满足
，则

A.
B.
C.
D.

8. 设函数
的定义域为
，如果存在正实数
，使得对任意
，当
时，都有
，则称
为
上的“
型增函数”.已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
（
），若
为
上的“20型增函数”，则实数
的取值范围是

A.
B.
C.
D.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.

9.计算:
(
为虚数单位).

10. 双曲线
的渐近线方程为 .

11. 在
中，若
，
，
，则
,
.

12．已知正数
，
满足约束条件
，则
的最小值为 .

13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是 ，侧面积为 .

第13题图

14. 在
中，
，
为线段
的中点，若
的长为定值
，则
面积的最大值为 （用
表示）.

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

15. （本小题满分13分）

已知数列
是等差数列，数列
是各项均为正数的等比数列，且
，
，
．

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式；

（Ⅱ）设
，求数列
的前
项和．

16. （本小题满分13分）

已知函数
的图象过点
.

（Ⅰ）求实数
的值及函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在
上的最小值.

17. （本小题满分13分）

某中学从高一年级、高二年级、高三年级各选1名男同学和1名女同学，组成社区服务小组．现从这个社区服务小组的6名同学中随机选取2名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的2人都是女同学的概率；

（Ⅱ）设 “选出的2人来自不同年级且是1名男同学和1名女同学”为事件N，求事件N发生的概率．

18. （本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是正方形．点
是棱
的中点，平面
与棱
交于点
．

（Ⅰ）求证：
∥
；

（Ⅱ）若
，且平面
平

面
，试证明
平面
；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，线段
上是否存在点

,使得

平面
?（直接给出结论，不

需要说明理由）

19. （本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）当
时，试判断函数
是否存在零点,并说明理由；

（Ⅲ）求函数
的单调区间.

20. （本小题满分14分）

已知圆

的切线
与椭圆

相交于
，
两点.

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）求证:
；

（Ⅲ）求
面积的最大值.

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试

数学答案（文史类） 2016.1

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

D

B

C

A

D



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案






,




,





（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15. （本小题满分13分）

解:（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
，且
.

依题意有，

由
,又
，

解得

所以
,
.

,
. ………………………………………7分

（Ⅱ）因为

所以前
项和

所以前
项和
．………………………………13分

16. （本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由

.

因为函数
的图象过点
，

所以
.解得
.

函数
的最小正周期为
. …………………………………………………………7分

（Ⅱ）因为
，所以
.

则
.

所以当
，即
时，函数
在
上的最小值为
. ……………13分

17.（本小题满分13分）

解：从高一年级、高二年级、高三年级选出的男同学分别记为A，B，C，女同学分别记为X，Y，Z．

从6名同学中随机选出2人参加活动的所有基本事件为：

{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，

{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15个． ……………4分

（Ⅰ）设“选出的2人都是女同学”为事件M，

则事件M包含的基本事件有{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共3个，

所以，事件M发生的概率
．……………………………………8分

（Ⅱ）事件N包含的基本事件有

{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6个，

所以，事件N发生的概率
． ……………………………………13分

18. （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：因为底面
是正方形，

所以
∥
．

又因为
平面
，
平面
，

所以
∥平面
．

又因为
四点共面，且平面
平面
，

所以
∥
．……………………5分

（Ⅱ）在正方形
中，
．

又因为平面
平面
，

且平面
平面
，

所以
平面
．

又
平面

所以
．

由（Ⅰ）可知
∥
，

又因为
∥
,所以
∥
.由点
是棱
中点，所以点
是棱
中点．

在△
中，因为
，所以
．

又因为
，所以
平面
．…………………………………11分

（Ⅲ）不存在． …………………………………………………………14分

19. （本小题满分13分）

解：函数
的定义域：
.

.

（Ⅰ）当
时，
.

.

有
，即切点（1,3），

.

所以曲线
在点
处切线方程是
，

即
.………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）若
，
.

.

令
，得
（舍），
.











－



＋





↘

极小值

↗