海淀区高三年级第一学期期末练习

数学（文科）2016.1

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上

作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 复数

A.
B.
C.
D.

2. 已知数列
是公比为2的等比数列，且满足
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

3. 如图, 正方形
中，
为
的中点，若
，

则
的值为

A.
B.
C.
D.

4?. 如图，在边长为
的正方形内有区域
（阴影部分所示），张明同学用随

机模拟的方法求区域
的面积. 若每次在正方形内每次随机产生
个点,

并记录落在区域
内的点的个数. 经过多次试验，计算出落在区域
内点的个

数平均值为
个，则区域
的面积约为

A.
B.
C.
D.

5. 某程序框图如图所示，执行该程序，如输入的
值为1，则输出的
值为

A.
B.
C.
D.

6. 若点
不在不等式组
表示的平面区域内，则实数
的取值

范围是

A.
B.
C.
D.

7. 已知函数
则下列结论正确的是

A．
B．

C．函数
在
上单调递增 D．函数
的值域是

8. 已知点
，抛物线
的焦点为
，点
在抛物线
上，若点
恰好在
的

垂直平分线上，则
的长度为

A.
B.
C.
D.

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 若
，则

10. 已知双曲线
的一条渐近线通过点
, 则

其离心率为

11. 某三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为

12. 直线
经过点
，且与曲线
相切，若直线
的倾斜角为
，则

13. 已知圆
截直线
所得的弦的长度为为
，则

14. 已知
，若存在
，满足
,则称
是
的一个“友好”三角形.

(i) 在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）

①
；②
；

③
.

(ii) 若
存在“友好”三角形，且
，则另外两个角的度数分别为___.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

等差数列
的首项
，其前
项和为
，且
.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）求满足不等式
的
的值.

16.（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）求函数
在区间
上的最大值与最小值的和.

17.（本小题满分13分）

为了研究某种农作物在特定温度下（要求最高温度
满足：
）的生长状况，某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区10月份历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度（单位：
）的记录如下：

(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期，写出农学家观察试验的起始日期.

(Ⅱ)设该地区今年10月上旬（10月1日至10月10日）的最高温度的方差和最低温度的方差分别为
，估计
的大小？（直接写出结论即可）.

(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天，求所选3天每天日平均最高温度值都在

[27，30]之间的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，四边形
是菱形，
平面
，
，
,
，点
为
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：平面
平面
；

（Ⅲ）求三棱锥
的体积. 

19.（本小题满分13分）

已知函数

（Ⅰ）当
时，求函数
单调区间和极值；

（Ⅱ）若关于
的方程
有解，求实数
的取值范围.

20.（本小题满分14分）

如图，椭圆
的离心率为
，其左顶点
在圆
上.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）直线
与椭圆
的另一个交点为
，与圆
的另一个

交点为
.

（i）当
时，求直线
的斜率；

（ii）是否存在直线
，使得
? 若存在，求出直线
的斜率；若不存在，

说明理由.

海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案

数 学 （文科） 2016.1

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

A

B

C

B

D

D



二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

题号

9

10

11

12

13

14



答案




,






或

②；



说明：　第1３题少写一个减３分，错的则不得分

　　　　第14题第一空3分，第二空2分，第二问少或错写的都不得分

三、解答题: 本大题共6小题，共80分.

15．解：

（Ⅰ）设数列
的公差为
. …………………………….1分

　因为
，所以
. ………………………….3分

　因为
，所以
，即
, …………………………….5分

所以
. …………………………….7分

（Ⅱ）因为
，
，所以
, …………………………….9分

　所以
，所以
, …………………………….11分

　解得
，所以
的值为
. ……………………….13分

16.解：

（Ⅰ）因为

　 　
…………………………….4分

　 　
…………………………….6分

所以函数
的最小正周期
. …………………………….8分

（Ⅱ）因为
，

所以
，所以
, ………………………….9分

根据函数
的性质，

当
时，函数
取得最小值
， …………………….10分

当
时，函数
取得最大值