松原实验高中

2016年三校联合模拟考试

理科数学能力测试



长春十一高中





东北师大附中





本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分.考试时间为120分钟，其中第Ⅱ卷22题－24题为选考题，其它题为必考题.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

注意事项：

1.答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.

2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.

4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀.

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．设全集
，集合
，
，则
（ ）

A．
　　 B．
　 　C．
　　 D．

2．已知复数
，
，则
（ ）

A．
　　 B．
　　 C．　
　 　 D．

3．若实数数列：
成等比数列，则圆锥曲线
的离心率是（ ）

A．
或
B．
C．
D．
或

4．函数

的图象恒过定点
，若点
在直线
上，其中
，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

5.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

6．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续
天每天日平均温度不低于
”，现有甲、乙、丙三地连续
天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位
）

①甲地：
个数据的中位数为
，众数为
；

②乙地：
个数据的中位数为
，平均数为
；

③丙地：
个数据中有一个数据是
，平均数为
，

方差为
.则肯定进入夏季的地区有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3

7．
的展开式中含
项的系数为（ ）

A．
B．
C．
D．

8．若如图所示的程序框图输出的
是
，则条件①

可为（ ）

A．
B．

C．
D．

9．若方程

的任意一组解
都满足不等式
，则
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知
外接圆的圆心为
，
，
，

为钝角，
是
边的中点，则
（ ）

A．
　　 B．
　　 C．　
　 D．

11．过双曲线
的左焦点
，作圆
的切线交双曲线右支于点
，切点为
，
的中点
在第一象限，则以下结论正确的是（ ）

A．
　　 B．

C．
　 　 D．

12.函数
.给出函数
下列性质：①函数的定义域和值域均为
；②函数的图像关于原点成中心对称；③函数在定义域上单调递增；④
（其中
为函数在定义域上的积分下限和上限）；⑤
为函数
图象上任意不同两点，则
.则关于函数
性质正确描述的序号为（ ）

A．①②⑤　　 B．①③⑤　　 C．②③④　　 　 D．②④

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

　　本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13．向量
，
，
，则向量
与
的夹角为 .

14．函数
的值域为 .

15．设
为坐标原点，
，若点
满足
，则
的最大值是 .

16．已知集合
，集合
的所有非空子集依次记为：
，设

分别是上述每一个子集内元素的乘积，（如果
的子集中只有一个元素，规定其积等于该元素本身），那么
.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、
，面积为
，已知

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
，
，求
.

18. （本小题满分12分）

如图所示，该几何体是由一个直三棱柱
和一个正四棱锥
组合而成，
，
.

（Ⅰ）证明：平面
平面
；

（Ⅱ）求正四棱锥
的高
，使得二面角
的余弦值是
.

19. （本小题满分12分）

生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于
为正品，小于
为次品，现随机抽取这两种元件各
件进行检测，检测结果统计如下：

测试指标













元件甲













元件乙













（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；

（Ⅱ）生产一件元件甲，若是正品可盈利
元，若是次品则亏损
元；生产一件元件乙，若是正品可盈利
元，若是次品则亏损
元.在（Ⅰ）的前提下：

（1）记
为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量
的分布列和数学期望；

（2）求生产
件元件乙所获得的利润不少于
元的概率

20. （本小题满分12分）

椭圆
与
的中心在原点，焦点分别在
轴与
轴上，它们有相同的离心率
，并且
的短轴为
的长轴，
与
的四个焦点构成的四边形面积是
.

（Ⅰ）求椭圆
与
的方程；

（Ⅱ）设
是椭圆
上非顶点的动点，
与椭圆
长轴两个顶点
，
的连线
，
分别与椭圆
交于点
，
.

（1）求证：直线
，
斜率之积为常数；

（2）直线
与直线
的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；

若不是，说明理由.

21. （本小题满分12分）

设函数
，（
）

（Ⅰ）当
时，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若
在
内有极值点，当
，
，求证：
.（
）

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，答题时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本题满分10分）选修4——1 几何证明选讲

如图，
是圆
外一点，
是圆
的切线，
为切点，割线
与圆
交于
，
，
，
为
中点，
的延长线交圆
于点
，证明：

（Ⅰ）
；

（Ⅱ）
.

23.（本题满分10分）选修4——4 坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线
的参数方程为
，（
为参数），直线
的参数方程为
,(
为参数).以原点为极点，
轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点
的极坐标为
.

（Ⅰ）求点
的直角坐标，并求曲线
的普通方程；

（Ⅱ）设直线
与曲线
的两个交点为
，
，求
的值.

24（本题满分10分）选修4——5 不等式选讲

已知函数
，

（Ⅰ）若
，解不等式：
；

（Ⅱ）若
恒成立，求
的取值范围.

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参考答案及评分标准

一、选择题（每题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

C

A

C

D

B

C

D

B

D

C

A

D



二、填空题（每题5分，共20分）

13.
14.
15.
16.

三、解答题

17. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由条件：
，

由于：
，所以：
，

即：
………….5分

（Ⅱ）
，所以：
，………….6分

，
………….8分

又：
，

由
，

所以：
，所以：
………….12分

18. （本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：直三棱柱
中，
平面
，

所以：
，又
，

所以：
平面
，
平面
，

所以：平面
平面
………….5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）
平面
，以
为原点，
方向为
轴建立空间直角坐标系
，设正四棱锥
的高
，
，

则
，
，
，
，

，
，

设平面
的一个法向量

则：
，取
，则
，所以：

设平面