昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷（理科）

（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分.

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写.

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔.请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分.

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液.保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损.不得在答题卡上做任何标记.

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存.

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

（1）若集合
，
，则

A．
B．

C．
D．

(2) 下列函数中，在区间
上为增函数的是

A．
B.
C.
D.

(3) 已知两点
，以线段
为直径的圆的方程是

A．
B．

C．
D．

(4) 在
中，
，则

A．19 B．7 C．
D．

⑸ 某三棱锥的三视图如图所示，则该三

棱锥四个面的面积中最大的是

A.

B. 3

C.

D.

（6）已知函数f (x) 的部分对应值如表所示. 数列
满足
且对任意
，点
都在函数
的图象上，则
的值为

1

2

3

4





3

1

2

4



A . 1 B.2 C. 3 D. 4

⑺ 若
满足
且
的最大值为4，则
的值为

A．
B．
C．
D．

（8）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：

下列叙述一定正确的是

A．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前

B．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前

C．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前

D．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）在
的展开式中，常数项是 （用数字作答）.

（10）双曲线
的渐近线方程为__________________；某抛物线的焦点与双曲线
的右焦点重合，则此抛物线的标准方程为____________.

（11）执行如图所示的程序框图，

输出的
值为_______.

（12）将序号为1，2，3，4的四张电影票全部分给3人，每人至少一张. 要求分给同一人的两张电影票连号，那么不同的分法种数为________________.（用数字作答）

（13）如图，在矩形
中，
，若
则
______;

_________.

（14）已知函数
若方程
恰有4个互异的实数根，则实数
的取值范围是_____________________．

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

（15）（本小题满分13分）

已知函数
．

（I） 求函数
的最小正周期；

（II）求函数
的单调递减区间．

(16)（本小题满分13分）

小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下.

图1 表1

（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为16千步，17千步，18千步的几天中任选2天，设小王这2天通过健步走消耗的“能量和”为
，求
的分布列.

（17）（本小题满分14分）

在四棱锥
中，平面
平面
，
为等边三角形,

,
,
,点
是
的中点．

（I）求证:
平面
；

（II）求二面角
的余弦值；

（III）在线段
上是否存在点
，使得

平面
？若存在,请求出

的值；若不存在,请说明理由.

（18）（本小题满分13分）

已知函数
.

（Ⅰ）若函数
在点
处的切线方程为
，求切点
的坐标；

（Ⅱ）求证：当
时，
；（其中
）

（Ⅲ）确定非负实数
的取值范围，使得
成立.

（19）（本小题满分13分）

已知椭圆C
的离心率为
,点
在椭圆C上．直线
过点
，且与椭圆C交于
，
两点，线段
的中点为
．

（I）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点
为坐标原点，延长线段
与椭圆C交于点
，四边形
能否为平行四边形？若能，求出此时直线
的方程，若不能，说明理由．

（20）（本小题满分14分）

对于任意的
，记集合
，
.若集合
满足下列条件：

①
；②
，且
，不存在
，使
，则称
具有性质
.

如当
时，
，
.
，且
，不存在
，使
，所以
具有性质
.

(Ⅰ) 写出集合
中的元素个数，并判断
是否具有性质
.

（Ⅱ）证明：不存在
具有性质
，且
，使
．

（Ⅲ）若存在
具有性质
，且
，使
，求
的最大值.

昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准 （理科） 2016.1

选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8



答案

 B

 A

 D

 D

 C

 B

 A

 C



二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）60 （10）
（11）

（12）18 （13）
（14）

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

(15)（本小题满分13分）

解：（I）

所以 最小正周期
…………………………..7分

(II) 由

得
………………………11分

所以函数
的单调递减区间是
……………13分

(16)（本小题满分13分）

解: (I) 小王这8天 “健步走”步数的平均数为

（千步）. …………………………..4分

（II）
的各种取值可能为800，840，880，920.

,

的分布列为：

800

840

880

920















 …………………………..13分

（17）（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明:取
中点
,连结
.

因为
为
中点 ,

所以
.

因为
.

所以
且
.

所以四边形
为平行四边形,

所以
.

因为
,

平面
,

所以
平面
. …………………………..4分

（Ⅱ） 取
中点
,连结

因为
,

所以
.

因为 平面
平面
,

平面
平面
,

平面
,

所以
.

取
中点
,连结
,则

以
为原点,如图建立空间直角坐标系,

设

则

.

平面
的法向量
,

设平面
的法向量
,

由
得

令
，则
.

.

由图可知，二面角
是锐二面角，

所以二面角
的余弦值为
. …………………………..9分

（Ⅲ） 不存在.

设点
,且
,

则

所以
.

则

所以
,
.

若
,则
,

即
，此方程无解,

所以在线段
上不存在点
,使得
. …………………………..14分

（18）（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：定义域为
，
.

由题意，
，所以
，即切点
的坐标为
. ………3分

（Ⅱ）证明：当
时，
，可转化为

当
时，
恒成立.

设
，

所以原问题转化为当
时，
恒成立.

所以
.

令