北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高三数学（文科） 2016.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，若
，则实数的取值范围是（ ）

（A）
　（B）
　　（C）
　　（D）

2. 下列函数中，值域为
的偶函数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．设
是
所在平面内一点，且
，则
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4．设命题p：“若
，则
”，命题q：“若
，则
”，则（ ）

（A）“
”为真命题 （B）“
”为真命题

（C）“
”为真命题 （D）以上都不对

5. 一个几何体的三视图如图所示，那么

这个几何体的表面积是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

6. “
”是“曲线
是焦点在x轴上的双曲线”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

7. 设
，
满足约束条件
若
的最大值与最小值的差为7，则实数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

8. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

不超过4千米的里程收费12元;

超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；

当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.



相应系统收费的程序框图如图所示，其中
（单位：千米）为行驶里程，
（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中处应填（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知复数
满足
，那么
____.

10．若抛物线
的焦点在直线
上，则实数
____；抛物线C的准线方程为____.

11．某校某年级有100名学生，已知这些学生完成家庭作业的时间均在区间
内（单位：小时），现将这100人完成家庭作业的时间分为3组：
，
，
加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

在这100人中，采用分层抽样的方法抽取10名学生研究其视力状况与完成作业时间的相关性，则在抽取样本中，完成作业的时间小于2.5个小时的有_____人.

12．已知函数
的部分图象如图所示，若不等式
的解集为
，则实数
的值为____.

13. 在
ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，
，则
____；
ABC的面积为____.

14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（恒温，单位：
）满足函数关系
且该食品在
的保鲜时间是16小时.

 该食品在
的保鲜时间是_____小时；

 已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了此日13时，甲所购买的食品是否过了保鲜时间______.（填“是”或“否”）

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知数列
是等比数列，并且
是公差为
的等差数列.

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）设
，记
为数列
的前n项和，证明：
.

16．（本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求函数
的最小正周期；

（Ⅱ）若
，求函数
的单调增区间.

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，侧面
底面
，
,
,
分别为
的中点，点
在线段
上.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
为
的中点，求证：
平面
；

（Ⅲ）当
时，求四棱锥
的体积.

18．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：

甲

6

6

9

9



乙

7

9







（Ⅰ）已知在乙的4局比赛中随机选取1局时，此局得分小于6分的概率不为零，且在4局比赛中，乙的平均得分高于甲的平均得分，求
的值；

（Ⅱ）如果
，
，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为
，
，求
的概率；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
的所有可能取值.（结论不要求证明）

19．（本小题满分14分）

已知椭圆
:
的离心率为
，点
在椭圆C上，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）设动直线
与椭圆
有且仅有一个公共点，且
与圆
的相交于不在坐标轴上的两点
，
，记直线
，
的斜率分别为
，
，求证：
为定值.

20．（本小题满分13分）

已知函数
，直线
.

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）求证：对于任意
，直线
都不是曲线
的切线；

（Ⅲ）试确定曲线
与直线
的交点个数，并说明理由.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末

高三数学（文科）参考答案及评分标准

2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．D 2．C 3．D 4．B

5．B 6．B 7．C 8．D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11. 9 12．

13．

14．4 是

注：第10，13，14题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：设等比数列
的公比为
，

因为
是公差为
的等差数列，

所以
……………… 2分

即
……………… 3分

解得
. ……………… 5 分

所以
． ……………… 7分

（Ⅱ）证明：因为
，

所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列. ……………… 8分

所以
……………… 11分

. ……………… 13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

……………… 4分

， ……………… 6分

所以函数
的最小正周期
. ……………… 8分

（Ⅱ）解：由
，
， ……………… 9分

得
，

所以函数
的单调递增区间为
，
. ……………… 11分

所以当
时，
的增区间为
，
. ……………… 13分

（注：或者写成增区间为
，
. ）

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在平行四边形
中，因为
，
，

所以
.

由
分别为
的中点，得
，

所以
. ………………1分

因为侧面
底面
，且
，

所以
底面
. ………………2分

又因为
底面
，

所以
. ………………3分

又因为
，
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………5分

（Ⅱ）证明：因为
为
的中点，
分别为
的中点，

所以
，

又因为
平面
，
平面
，

所以
平面
. ………………7分

同理，得
平面
.

又因为
，
平面
，
平面
，

所以平面
平面
. ………………9分

又因为
平面
，

所以
平面
. ………………10分

（Ⅲ）解：在
中，过
作
交