北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学试卷（理工类） 2016．1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合
，
，则

A．
B．
C．
D．

2．复数
（
是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为

A．
B．
C．
D．

3．执行如图所示的程序框图，则输出的
值为

A．
B．
C．
D．

第3题图

4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h～120km/h，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有

A．
辆 B．
辆

C．
辆 D．
辆

第4题图

5．“
”是“函数
在
上单调递增”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6． 已知点
及抛物线
上一动点
，则
的最小值是

A．
B．1 C． 2 D． 3

7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是

A．27 B．30

C．32 D．36

第7题图

8．设函数
的定义域
，如果存在正实数
，使得对任意
，都有
，则称
为
上的“
型增函数”．已知函数
是定义在
上的奇函数，且当
时，
（
）．若
为
上的“20型增函数”，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．

9．函数
的最小正周期是 ，最小值是 ．

10．若
，
满足约束条件
则
的最大值为 ．

11．在各项均为正数的等比数列
中，若
，则
的最小值是 ．

12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．

13．已知
为圆
(
)上两个不同的点（
为圆心），且满足
，则
．

14．已知点
在
的内部，且有
，记
的面积分别为
．若
，则
；若
，则
．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．（本小题满分13分）

某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；

（Ⅱ）设X为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

16．（本小题满分13分）

如图，在
中，点
在
边上，
，
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
求
的面积．

17．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，且
．点
是棱
的中点，平面
与棱
交于点
．

（Ⅰ）求证：
∥
；

（Ⅱ）若
，且平面
平面
，

求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分14分）

已知函数
,其中
．

（Ⅰ）若
在区间
上为增函数，求
的取值范

围；

（Ⅱ）当
时，（ⅰ）证明：
；

（ⅱ）试判断方程
是否有实数解，并说明理由．

19．（本小题满分14分）

已知圆

的切线
与椭圆

相交于
，
两点．

（Ⅰ）求椭圆
的离心率；

（Ⅱ）求证：
；

（Ⅲ）求
面积的最大值.

20．（本小题满分13分）

已知有穷数列：
的各项均为正数，且满足条件：

①
；②
．

（Ⅰ）若
，求出这个数列；

（Ⅱ）若
，求
的所有取值的集合；

（Ⅲ）若
是偶数，求
的最大值（用
表示）．

北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试

数学答案（理工类） 2016．1

一、选择题：（满分40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

D

B

D

A

C

A

B



二、填空题：（满分30分）

题号

9

10

11

12

13

14



答案


，















（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）

三、解答题：（满分80分）

15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A，则

所以选出的3名同学来自班级的概率为
． ……………………………5分

（Ⅱ）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，则

；
；

；
．

所以随机变量X的分布列是

X

0

1

2

3



P











随机变量X的数学期望

． …………………………13分

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为
，所以
．

又因为
，所以
．

所以

． ………………………7分

（Ⅱ）在
中，由
，得
．

所以
． …………13分

17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）证明：因为底面
是菱形，所以
∥
．

又因为
面
，
面
，所以
∥面
．

又因为
四点共面，且平面
平面
，

所以
∥
． ………………………5分

（Ⅱ）取
中点
，连接
．

因为
，所以
．

又因为平面
平面
，

且平面
平面
，

所以
平面
．所以
．

在菱形
中，因为
，

，
是
中点，

所以
．

如图，建立空间直角坐标系
．设
，

则
，

．

又因为
∥
，点
是棱
中点，所以点
是棱
中点．所以
，
．所以
，
．

设平面
的法向量为
，则有
所以

令
，则平面
的一个法向量为
．

因为
平面
，所以
是平面
的一个法向量．

因为
，

所以平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值为
． ……………………13分

18．（本小题满分14分）

解：函数
定义域
，
．

（Ⅰ）因为
在区间
上为增函数，所以
在
上恒成立，

即
，
在
上恒成立，

则
………………………………………………………4分

（Ⅱ）当
时，
,
．

（ⅰ）令
，得
．

令
,得
，所以函数
在
单调递增．

令
,得
，所以函数
在
单调递减．

所以，
．

所以
成立． …………………………………………………9分

（ⅱ）由（ⅰ）知，
， 所以
．

设
所以
．

令
，得
．

令
,得
，所以函数
在
单调递增，

令
,得
，所以函数
在
单调递减；

所以，
， 即
．

所以
，即

．

所以，方程

没有实数解． ……………………………14分

19．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由题意可知