海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案

数学（理科） 2016.1

阅卷须知:

1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。

2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

B

D

C

A

C

D

D



二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.

题号

9

10

11

12

13

14



答案











②；



说明：第9，14题第一空3分，第二空2分

三、解答题: 本大题共6小题，共80分.

15．解：（Ⅰ）因为

…………………………….1分

…………………………….5分

（两个倍角公式，每个各2分）

…………………………….6分

所以函数
的最小正周期
. …………………………….7分

（Ⅱ）因为
，所以
，所以
. ………………………….8分

当
时，函数
取得最小值
; …………………………….10分

当
时，函数
取得最大值
, …………………………….12分

因为
,

所以函数
在区间
上的最大值与最小值的和为
. …………………………….13分

16.解：

（Ⅰ）设持续
天为事件
，用药持续最多一个周期为事件
， …………………………….1分

所以
， …………………………….5分

则
. …………………………….6分

法二：设用药持续最多一个周期为事件
，则
为用药超过一个周期， …………………………….1分

所以
, …………………………….3分

所以
. …………………………….6分

（Ⅱ）随机变量
可以取
， …………………………….7分

所以
,
, …………………………….11分

所以
. …………………………….13分

17．解：

（Ⅰ）过点
作
，交
于
,连接
,

因为
，所以
. …………………………….1分

又
，
，所以
. …………………………….2分

所以
为平行四边形, 所以
. …………………………….3分

又
平面
，
平面
, ………………….4分（一个都没写的，则这1分不给）

所以
平面
. …………………………….5分

（Ⅱ）因为梯形
中，
，
, 所以
.

因为
平面
，所以
,

如图，以
为原点，

所在直线为
轴建立空间直角坐标系, …………………………….6分

所以
.

设平面
的一个法向量为
，平面
的一个法向量为
,

因为

所以
，即
， …………………………….7分

取
得到
, …………………………….8分

同理可得
, …………………………….9分

所以
, …………………………….10分

因为二面角
为锐角，

所以二面角
为
. …………………………….11分

（Ⅲ）假设存在点
，设
，

所以
, …………………………….12分

所以
，解得
, …………………………….13分

所以存在点
，且
. …………………………….14分

18．解：（Ⅰ）

因为
,

所以
， …………………………….1分

当
时，
. …………………………….2分

令
， 得
， …………………………….3分

所以
随
的变化情况如下表：































极大值



极小值





 …………………………….6分

所以
在
处取得极大值
，

在
处取得极小值
. …………………………….7分

函数
的单调递增区间为
，
,
的单调递减区间为
.…………………………….8分

（Ⅱ）证明：

不等式
在区间
上无解，等价于
在区间
上恒成立，

即函数
在区间
上的最大值小于等于1.

因为
，

令
，得
. …………………………….9分

因为
时，所以
.

当
时，
对
成立，函数
在区间
上单调递减，……………………….10分

所以函数
在区间
上的最大值为
,

所以不等式
在区间
上无解； …………………………….11分

当
时，
随
的变化情况如下表：





















↘

极小值

↗





所以函数
在区间
上的最大值为
或
. ……………………………….12分

此时
,
，

所以

.

综上，当
时，关于
的不等式
在区间
上无解. …………………………….13分

19．解：

（Ⅰ）因为椭圆
的左顶点
在圆
上，

令
，得
，所以
. …………………………….1分

又离心率为
，所以
，所以
, …………………………….2分

所以
, …………………………….3分

所以
的方程为
.
…………………………….4分

（Ⅱ）

法一：设点
，设直线
的方程为
， …………………………….5分

与椭圆方程联立得
,

化简得到
, …………………………….6分

因为
为上面方程的一个根，所以
，所以
. …………………………….7分

所以
. …………………………….8分

因为圆心到直线
的距离为
， …………………………….9分

所以
, …………………………….10分

因为
， …………………………….11分

代入得到
. …………………………….13分

显然
，所以不存在直线
，使得
. …………………………….14分

法二：

设点
，设直线
的方程为
， …………………………….5分

与椭圆方程联立得

化简得到
, 由
得
. …………………………….6分

显然
是上面方程的一个根，所以另一个根，即
. …………………………….7分

由
， …………………………….8分

因为圆心到直线
的距离为
， …………………………….9分

所以
. …………………………….10分

因为
， …………………………….11分

代入得到
, …………………………….13分

若
，则
，与
矛盾，矛盾，

所以不存在直线
，使得
. …………………………….14分

法三：假设存在点
，使得
，则
，得
. …………………………….5分

显然直线
的斜率不为零，设直线
的方程为
， …………………………….6分

由
，得
,

由
得
， …………………………….7分

所以
. …………………………….9分

同理可得
， …………………………….11分

所以由
得
， …………………………….13分

则
，与
矛盾，

所以不存在直线
，使得
. …………………………….14分