北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2016.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．设集合
，集合
，若
，则实数
的取值范围是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

2. 下列函数中，值域为
的偶函数是（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

3. 设命题p：“若
，则
”，命题q：“若
，则
”，则（ ）

（A）“
”为真命题 （B）“
”为假命题

（C）“
”为假命题 （D）以上都不对

4. 在数列
中，“对任意的
，
”是“数列
为等比数列”的（ ）

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

5. 一个几何体的三视图如图所示，那么这个

几何体的表面积是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

6. 设
，
满足约束条件
若
的最大值与最小值的差为7，则实数
（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 某市乘坐出租车的收费办法如下：

不超过4千米的里程收费12元;

超过4千米的里程按每千米2元收费（对于其中不足千米的部分，若其小于0.5千米则不收费，若其大于或等于0.5千米则按1千米收费）；

当车程超过4千米时，另收燃油附加费1元.



相应系统收费的程序框图如图所示，其中
（单位：千米）为行驶里程，
（单位：元）为所收费用，用[x]表示不大于x的最大整数，则图中处应填（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

8. 如图，正方形
的边长为6，点
，
分别在边
，
上，且
，
.如果对于常数
，在正方形
的四条边上，有且只有6个不同的点P使得
成立，那么
的取值范围是（ ）

（A）

（B）

（C）

（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．

9. 已知复数
满足
，那么
____.

10．在
中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若
，
，
，则
____.

11．双曲线C：
的渐近线方程为_____；设
为双曲线C的左、右焦点，P为C上一点，且
，则
____.

12．如图，在
中，
，
，
，点
为
的中点，以
为直径的半圆与
，
分别相交于点
，
，则
____；
____.

13. 现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有____种.（用数字作答）

14. 某食品的保鲜时间t（单位：小时）与储藏温度x（单位：
）满足函数关系
且该食品在
的保鲜时间是16小时.

已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且此日的室外温度随时间变化如图所示. 给出以下四个结论：

 该食品在
的保鲜时间是8小时；

 当
时，该食品的保鲜时间t随着x增大而逐渐减少；

 到了此日13时，甲所购买的食品还在保鲜时间内；

 到了此日14时，甲所购买的食品已然过了保鲜时间.

其中，所有正确结论的序号是____.

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分13分）

已知函数
，
.

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ）设
，若函数
为奇函数，求
的最小值.

16．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分. 两人4局的得分情况如下：

甲

6

6

9

9



乙

7

9







（Ⅰ）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；

（Ⅱ）如果
，从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为
，求
的分布列和数学期望；

（Ⅲ）在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出
的所有可能取值.（结论不要求证明）

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
，侧面
底面
，
,
,
分别为
的中点，点
在线段
上.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）若
为
的中点，求证：
平面
；

（Ⅲ）如果直线
与平面
所成的角和直线
与平面
所成的角相等，求
的值.

18．（本小题满分13分）

已知函数
，函数
，其中
．

（Ⅰ）如果函数
与
在
处的切线均为
，求切线
的方程及
的值；

（Ⅱ）如果曲线
与
有且仅有一个公共点，求
的取值范围．

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C:
的离心率为
，点
在椭圆C上.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设动直线
与椭圆C有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点O为圆心的圆，满足此圆与
相交两点
，
（两点均不在坐标轴上），且使得直线
，
的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由.

20．（本小题满分13分）

在数字
的任意一个排列A：
中，如果对于
，有
，那么就称
为一个逆序对. 记排列A中逆序对的个数为
.

如
时，在排列B：3, 2, 4, 1中，逆序对有
，
，
，
，则
.

（Ⅰ）设排列
3, 5, 6, 4, 1, 2，写出
的值；

（Ⅱ）对于数字1，2，
，n的一切排列A，求所有
的算术平均值；

（Ⅲ）如果把排列A：
中两个数字
交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列
：
，求证：
为奇数.

北京市西城区2015 — 2016学年度第一学期期末

高三数学（理科）参考答案及评分标准

2016.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.

1．A 2．C 3．B 4．B

5．B 6．C 7．D 8．C

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．
10．

11．

12．

13．54 14． 

注：第11，12题第一问2分，第二问3分.

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.

15．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

………………4分

， ………………6分

所以函数
的最小正周期
. ………………7分

由
，
，

得
，

所以函数
的单调递增区间为
，
. ………………9分

（注：或者写成单调递增区间为
，
. ）

（Ⅱ）解：由题意，得
，

因为函数
为奇函数，且
，

所以
，即
， ………………11分

所以
，
，

解得
，
，验证知其符合题意.

又因为
，

所以
的最小值为
. ………………13分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：记 “从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局的得分恰好相等”为事件
，

………………1分

由题意，得
，

所以从甲的4局比赛中，随机选取2局，且这2局得分恰好相等的概率为
. ……4分

（Ⅱ）解：由题意，
的所有可能取值为
，
，
，
， ………………5分

且
，
，
，
，………………7分

所以
的分布列为：

13

15

16

18















 ……………… 8分

所以
. ………………10分

（Ⅲ）解：
的可能取值为
，
，
. ………………13分

17．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：在平行四边形
中，因为
，
，

所以
.

由
分别为
的中点，得
，

所以
. ………………1分

因为侧面
底面
，且
，

所以
底面
. ………………2分

又因为
底面
，

所以
.