昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷（文科）

（满分150分，考试时间 120分钟）2016.1

考生须知：

本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。

考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

（1）若集合
，
，则

A．
B．

C．
D．
或

（2）下列函数中，为偶函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

（3）已知向量
，
，若
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

（4）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是

A.36 B.18 C.12 D．6

（5）设
，则
的大小关系为

A．
B．
C．
D．

（6）在等比数列
中，
则“
”是“
”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（7）若
满足
且
的最大值为6，则
的值为

A．
B．1 C．
D．

（8）2015年12月7日，北京首次启动空气重污染红色预警.其应急措施包括：全市范围内将实施机动车单双号限行（即单日只有单号车可以上路行驶，双日只有双号车可以上路行驶），其中北京的公务用车在单双号行驶的基础上，再停驶车量总数的30% .现某单位的公务车，职工的私家车数量如下表：

 公务车

 私家车



 单号（辆）

 10

 135



 双号（辆）

 20

 120





根据应急措施，12月8日，这个单位需要停驶的公务车和私家车一共有

A．154 辆 B．149辆 C．145辆 D．140辆

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）已知复数
，则
____________.

（10）若直线
与圆
相切，则
的值是_______.

（11）执行如图所示的程序框图，输出的
值为______

（12）若双曲线
的左支上一点
到右焦点的距离是6，则点
到左焦点的距离为 .

（13）在
中，
，
，
，则
；
.

（14）某大学进行自主招生时，要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名.其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：

从这次测试看，甲、乙两位同学，总成绩排名更靠前的是___________；甲、丙两位同学，逻辑思维成绩排名更靠前的是____________.

三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

(15) （本小题满分13分）

已知函数

（I）求
的最小正周期；

（II）求
的单调递增区间.

（16）（本小题满分13分）

在等差数列
中,

（I）求数列
的通项公式；

（II）设数列
，且数列
是等比数列.若
求数列
的前
项和
.

(17) （本小题满分13分）

小王为了锻炼身体，每天坚持“健步走”, 并用计步器进行统计.小王最近8天“健步走”步数的频数分布直方图（图1）及相应的消耗能量数据表（表1）如下：

图1 表1

（Ⅰ）求小王这8天 “健步走”步数的平均数；

（Ⅱ）从步数为17千步，18千步,19千步的几天中任选2天，求小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里的概率.

(18) （本小题满分14分）

如图，在直三棱柱
中，
，
,
为
中点.
与
交于点O.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求证：
平面
;

（Ⅲ）在线段
上是否存在点
，使得
？请说明理由.

(19) （本小题满分13分）

已知椭圆C
的离心率为
,点
在椭圆C上.

（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线

与椭圆C交于A,B两点，线段AB中点为M,点O为坐标原点. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.

(20) （本小题满分14分）

已知函数
．

(Ⅰ) 求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）证明：当
时，
；

（Ⅲ）设
，若
存在最大值，且当最大值大于
时，确定实数
的取值范围．

昌平区2015－2016学年第一学期高三年级期末质量抽测

数学试卷参考答案及评分标准 （文科） 2016.1

一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)

题号

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

8



答案

 B

 D

 C

 D

 C

 A

B

 A



二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）
（10）
或
（11）

（12） 2 （13）3；
（14） 乙；甲

三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

(15)（本小题满分13分）

解：　(1)

………………………4分

所以 最小正周期
………………………6分

(2)由

得
………………………12分

所以函数
的单调递增区间是
……………13分

(16)（本小题满分13分）

解：（I）设等差数列
的公差为
，

由
得

所以
……………………4分

(II)

由
得
.
得
.

因为
是等比数列，
，

所以
……………………8分

所以

所以

……………13分

(17)（本小题满分13分）

解: (I) 小王这8天 每天“健步走”步数的平均数为

（千步） . ……………………6分

（II）设小王这2天通过“健步走”消耗的能量和不小于1000卡路里为事件

“健步走”17千步的天数为2天，记为
“健步走”18千步的天数为1天，记为
“健步走”19千步的天数为2天，记为

5天中任选2天包含基本事件有：
共10个.

事件
包含基本事件有：
共3个.

所以
……………………13分

(18) （本小题满分14分）

（Ⅰ）证明: 连结
.

在直三棱柱
中,

因为
,

所以 四边形
为正方形,

所以
为
中点.

因为
为
中点，

所以
为
的中位线,

所以

因为
平面
,

平面
,

所以
平面
. ……………………4分

（Ⅱ）在直三棱柱
中,
,
,
,

所以
平面
,

所以

在正方形
中,

所以
平面
. ……………………9分

（Ⅲ） 存在

取
中点
,连结
,
.

所以
.

所以
.

因为
,
为
中点,

所以
.

因为
,

所以
平面
.

所以
.

所以 当
为
中点时,
. ………………14分

(19) （本小题满分13分）

解：（I）由题意得
解得
.

所以椭圆
的方程为
……………………5分

（Ⅱ）法一：

设
，
，
．

将
代入
得
，

故
，

．于是直线
的斜率
，即
．

所以直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值
． ……………………13分

法二：

设
，
，
．则

由

得
,

则
,

即
．

所以直线
的斜率与
的斜率的乘积为定值
． …………………13分

(20) （本小题满分14分）

（Ⅰ）解：定义域为
，
.

由题意，
，
，所以函数
在点
处的切线方程为
.…………………4分

（Ⅱ）证明：当
时，
，可转化为

当
时，
恒成立.

设
，

所以
.

当
时，
，所以
在
上为减函数，所以
，

所以当
时，
成立. ……………………8分

（Ⅲ）设
，定义域为
，

所以
.

⑴当