大兴区2015~2016学年度第一学期期末检测试卷

高三数学（理科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

（1）已知
，
，则
等于

（A）
（B）

（C）
（D）

（2）双曲线
的一条渐近线的方程是

（A）
（B）

（C）
（D）

（3）下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间
内有零点的函数是

（A）
（B）

（C）
（D）

（4）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

（A） 3

（B） 6

（C） 9

（D） 12

（5）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则
是
的

（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件

（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件

（6）在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足
，则

（A）
（B）

（C）
（D）

（7）如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数
（其

中
，
，
），那么中午12时温度的近似值（精确到
）是

（A）
（B）
（C）
（D）

（8）若
，
，且当
，
满足
时，恒有
成立，则以
为坐标的点
所构成的平面区域的面积等于

（A）
（B）
（C）
（D）

第二部分（非选择题 共110分）

二．填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）
，
，
，则a，b，c之间的大小关系是 .

（10）直线
被圆
截得的弦长等于 ．

（11）已知数列
是等差数列，公差
，
，
，
，
成等比数列，则数列
的公差
等于 ；前
项和
等于 .

（12）
中，
，
，
，则
的面积等于 ．

（13）某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 种．（用数字作答）

（14）在测量某物体的重量时，得到如下数据：
，其中
，若用
表示该物体重量的估计值，使
与每一个数据差的平方和最小，则
等于 ；若用
表示该物体重量的估计值，使
与每一个数据差的绝对值的和最小，则b等于 ．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）已知函数
.

（Ⅰ）求
的最小正周期和单调增区间；

（Ⅱ）求
在区间
上的最大值与最小值.

（16）某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：

甲班



乙班

















4

6























5

5

3

6

8

















4

2

6

2

4

5

6

8







9

8

8

7

63

7

3

5

4

4

5



9

7

6

5

3

3

0

8

1

4

5

9









8

7

6

2

0

9

8

9





































（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值
与
及方差
与
的大小；（只需写出结论）

（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级：

学业成绩

低于70分

70分到89分

不低于90分



学业水平

一般

良好

优秀



根据所给数据，频率可以视为相应的概率.

（ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件
：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求
发生的概率；

（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记
为学业水平优秀的人数，求
的分布列和数学期望.

（17）如图，在三棱锥
中，平面

平面
，
，
,
为
的中点，

.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值；

（Ⅲ）若
为
中点，在直线
上

是否存在点
使
平面
,

若存在，求出
的长，若不存在，说明理由.

（18）已知函数

.

（Ⅰ）当
时，求函数
在点
处的切线方程；

（Ⅱ）求函数
的单调区间；

（Ⅲ）若

在
上恒成立，求
的取值范围.

（19）已知椭圆

上的点
到两焦点的距离之和等于
.

（Ⅰ）求椭圆
的方程；

（Ⅱ）经过椭圆
右焦点
的直线
(不经过点
)与椭圆交于
两点，与直线
：
相交于
点，记直线
的斜率分别为
.求证：
为定值.

（20）若数对
(
)，对于
，

，使
成立，则称数对
为全体整数的一个基底，
称为
以
为基底的坐标；

（Ⅰ）给出以下六组数对
，
，
，
，
，
，写出可以作为全体整数基底的数对；

（Ⅱ）若
是全体整数的一个基底，对于
，
以
为基底的坐标
有多少个？并说明理由；

（Ⅲ）若
是全体整数的一个基底，试写出
的所有值，并说明理由.

2015~2016期末考试参考答案与评分标准

高三数学（理）

一、选择题（每小题5分，共40分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

A

C

B

B

B

A

C

D



二、填空题（每小题5分，共30分）

（9）
;（10）
;（11）
（第一个空3分，第二个空2分）

（12）
; （13）600; （14）
，
（第一个空3分，第二个空2分）

三、解答题（共80分）

（15）(I)

， ……2分

. ……4分

所以
. ……5分

令
……6分

得:
……7分

所以
得最小正周期为
，单调递增区间为
……8分

(II)因为

所以
……2分

因此，当
，即
时，
的最小值为
； ……4分

当
，即
时，
的最大值为
. ……5分

16. （Ⅰ）
……2分

……4分

（Ⅱ）（1）记A1、A2、A3分别表示事件：甲班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；

记B1、B2、B3分别表示事件：乙班学生学业水平等级为一般、良好、优秀；

……4分

（2）从甲班随机抽取1人，其学业水平优秀的概率为
，

则
=0，1，2，

……1分

……2分

……3分

则
的分布列为：

0

1

2



P









 ……4分

(或
) ……5分

17.（Ⅰ）

…… 1分

…… 2分

…… 3分

…… 4分

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A-xyz,

…… 1分

即

…… 3分

…… 4分

…… 5分

因为所求的二面角为锐角，

…… 6分

（Ⅲ）
，
, …… 1分

，
…… 2分

…… 3分

…… 4分

（18）（1）当
时，
，
…………2分

…………3分

所以，函数
在点
处的切线方程为

即：
…………4分

(Ⅱ)函数的定义域为：
…………1分

…………2分

当
时，
恒成立，所以，
在
和
上单调递增

当
时，令
，即：
，

,

所以，
单调递增区间为
，单调减区间为
. …………4分

（Ⅲ）因为
在
上恒成立，有