丰台区2015—2016学年度第一学期期末练习 2016.01

高三数学（理科）

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

复数
是实数，则实数
等于

（A）2 （B）1 （C）0 （D）-1

2.“
”是“
”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

3.已知数列
中，
，若利用下

面程序框图计算该数列的第2016项，则判断

框内的条件是

（A）
（B）

（C）
（D）

4.若点
为曲线
（
为参数）上一点，则点
与坐标原点的最短距离为

（A）
（B）
（C）
（D）2

5.函数
在区间
上的零点之和是

（A）
（B）
（C）
（D）

6. 若
，
，
，则
的大小关系是

（A）
（B）
（C）
（D）

7. 若F（c,0）为椭圆C：
的右焦点，椭圆C与直线
交于A,B两点，线段AB的中点在直线
上，则椭圆的离心率为

（A）
（B）
（C）
（D）

8.在下列命题中：

①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等；

②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等；

③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等；

④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等.

其中真命题的个数为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.在
的展开式中，
的系数等于_____.（用数字作答）

10.若
的满足
则
的最小值为 .

11.设等差数列
的前
项和为
，若
,则
= .

12.在
中，
,点
是线段
上的动点，则
的最大值为_______.

13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .

14.设函数
其中
.

①当
时，若
，则
__________；

②若
在
上是单调递增函数，则
的取值范围________.

二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15.（本小题13分）

如图，在
中，
，
，
，点
在边
上，且
.

（Ⅰ）求
；

（Ⅱ）求线段
的长.

16.（本小题14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，E是AB的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC=
.

（Ⅰ）求证：CF∥平面PAB；

（Ⅱ）求证：PE⊥平面ABCD；

(Ⅲ)求二面角B-PA-C的余弦值.

17.（本小题14分）

随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者. 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者.

（Ⅰ）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概

率
；

（Ⅱ）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为
，

那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率
；

（Ⅲ）该创业园区的
团队有100位员工，其中有30人是志愿者. 若在
团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为
. 试根据（Ⅰ）、（Ⅱ）中的
和
的值，写出
，
，
的大小关系（只写结果，不用说明理由）.

18.（本小题13分）

已知函数
.

（Ⅰ）求函数
的极值；

（Ⅱ）若存在实数
，且
，使得
，求实数a的取值范围.

19.（本小题13分）

已知定点
和直线
上的动点
，线段MN的垂直平分线交直线
于点
，设点
的轨迹为曲线
.

（Ⅰ）求曲线
的方程；

（Ⅱ）直线
交
轴于点
，交曲线
于不同的两点
，点
关于x轴的对称点为点P.点
关于
轴的对称点为
，求证：A，P，Q三点共线.

20.（本小题13分）

已知数列
的各项均为正数，满足
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若
是等比数列，求数列
的通项公式；

（Ⅲ）设数列
的前n项和为
，求证：
.

丰台区2015-2016年第一学期期末练习

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

A

C

A

B

D





二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

9．-84 10．-2 11. 18 12. 3 13．
14．1 ,

三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

15．(本小题共13分)

解：（Ⅰ）根据余弦定理：

………6分

（Ⅱ）因为
，所以

根据正弦定理得：

…………………………13分

16．(本小题共14分)

解：（Ⅰ）取
的中点
，连接
，

因为
是
中点，
是
中点，

所以
，

又因为
，

所以四边形
是平行四变形

面
，
面

所以
面
…………………………5分

（Ⅱ）连接
，

因为在
中，
，点
是边
在的中点，

所以
且
，

在
中，
，
，所以

在
中，
，
，
，

所以

又因为
面
，
面

所以
面
…………………………9分

（Ⅲ）取
中点
，以
，
，
分别为轴
，
轴，
轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：
，
，
，
，

因为：
，

所以
面

面
的法向量为

设面
的法向量为

，

由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为

二面角
余弦值为：
………………………14分

17．(本小题共14分)

解：（Ⅰ）

所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为
…………………………5分

（Ⅱ）

所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为
…………………………10分

（Ⅲ）
…………………………14分

18．(本小题共13分)

解：（Ⅰ）
，

令
得
，
.

x







0







+

0

_

0

+







极大值



极小值





∴函数
的极大值为
； 极小值为
.

…………………………8分

(Ⅱ) 若存在
，使得
，则

由（Ⅰ）可知，需要
（如图1）或
（如图2）.

（图1） （图2）

于是可得
. …………………………13分

19．(本小题共13分)

（Ⅰ）有题意可知：
，即点
到直线
和点
的距离相等.

根据抛物线的定义可知：
的轨迹为抛物线，其中
为焦点.

设
的轨迹方程为：
，
，

所以
的轨迹方程为：
. …………………………5分

（Ⅱ）由条件可知
，则
.

联立
,消去y得
，

.

设
，则

，
，
.

因为
，

所以
,
三点共线 . …………………………13分

20. （本小题共13分）

（Ⅰ）证明：因为
，

所以数列
是递增数列，即
.

又因为
，

所以
. …………………………3分

（Ⅱ）解：因为
，所以
；

因为